Limit Fungsi

Pengertian

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x	0	0,9	0,95	0,98	…	1,0001	1,0005	1,05	1,1
f(x)	1	1,9	1,95	1,98	…	2,0001	2,0005	2,05	2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:

→  Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

 

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

 

Sifat-Sifat Limit

 

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1.         Substitusi langsung

Contoh:

 

2.         Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)

 Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

 3.         Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)

Contoh:

 

4.         Untuk limit tak terhingga:

→  Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi

→  Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi

Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat!

→  Untuk bentuk pecahan:

• Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
• Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
• Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

 

→  Untuk bentuk

Contoh:

5.         Limit trigonometri:

Untuk cosinus:

1 – cos ax = 2 sin² ½ ax    (dari rumus cos 2x)

cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)

1 – cos²ax = sin²ax            (dari sin²x + cos²x = 1)

 

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

 

Rumus-rumus pengembangannya:

 

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:

1.  f(a) ada (dapat dihitung/real)

2. 

3. 

 

Ilustrasi: