Persamaan Vektor untuk Garis

Pada bidang 2 dimensi, suatu garis yang melalui titik (x0, y0) dan sejajar dengan vektor v = ai + bj dapat dinyatakan dengan persamaan vektor:

Vektor v adalah vekor arah garis tersebut.

Persamaan parametrik untuk garis tersebut adalah:

x = x0 + at

y = y0 + bt

Sedangkan pada bidang 3 dimensi, suatu garis yang melalui titik (x0, y0, z0) dan sejajar dengan vektor v = ai + bj + ck dapat dinyatakan dengan persamaan vektor:

Vektor v adalah vektor arah garis tersebut.

Persamaan parametrik untuk garis tersebut adalah:

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

Contoh 1:

Tentukan persamaan vektor untuk garis yang melalui (1, 3, 0) dan sejajar dengan vektor 2i + 4j – k.

Jawab:

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan vektor untuk garis yang melalui (2, –4 , 7) dan sejajar sumbu-x.

Jawab:

 

Contoh 3:

Tentukan persamaan vektor untuk garis yang melalui titik A (1, 3, 0) dan B (3, –4, 2).

Jawab:

Vektor arahnya adalah:

Jadi persamaan garisnya:

Catatan: vektor arahnya juga dapat digunakan vektor BA = (ab)

 

Perpotongan Garis dengan Bidang Koordinat

Suatu garis dengan persamaan parametrik

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

akan:

  • memotong bidang-xy jika: z = 0
  • memotong bidang-xz jika: y = 0
  • memotong bidang-yz jika: x = 0

 

Contoh 4:

Tentukan koordinat titik potong garis

dengan bidang-xy.

Jawab:

Perpotongan dengan bidang-xy terjadi jika z = 0

–9  + 3t = 0 → 3t = 9 → t = 3

Jadi vektor posisi titik potongnya:

Koordinat titik potongnya adalah (1, –4, 0)

 

Kedudukan Dua Garis

Dua buah garis dapat saling:

Dua buah garis dengan persamaan:

Akan berimpit atau  sejajar jika vektor arah garis yang satu  merupakan kelipatan dari vektor arah garis lainnya:

Akan saling tegak lurus jika hasil perkalian titik antara vektor arah garis yang satu dengan vektor arah garis lainnya adalah nol:

 

Contoh 5:

Tentukan kedudukan antara

Jawab:

Karena

maka kedua garis bisa berimpit atau sejajar.

Jika dicari perpotongan antara kedua garis:

2 + t = 5 – 2s               (1)

–1 + 2t = 5 – 4s           (2)

2 + 3t = 11 – 6s           (3)

Dari persamaan (1) diperoleh: t = 3 – 2s

Jika dimasukkan ke persamaan (2):

–1 + 2(3 – 2s) = 5 – 4s

–1 + 6 – 4s = 5 – 4s

5 = 5 (benar)

Jika dimasukkan ke persamaan (3):

2 + 3(3 – 2s) = 11 – 6s

2 + 9 – 6s = 11 – 6s

11 = 11 (benar)

Maka berapapun nilai t dan s, kedua garis akan selalu berpotongan di setiap titiknya, jadi dapat disimpulkan kedua garis itu berimpit.

 

Contoh 6:

Tentukan kedudukan antara

Jawab:

Karena

maka kedua garis bisa berimpit atau sejajar.

Jika dicari perpotongan antara kedua garis:

2 + t = 3 + 2s               (1)

–1 + 2t = 4s                 (2)

2 + 3t = 4 + 6s             (3)

Dari persamaan (1) diperoleh: t = 1 + 2s

Jika dimasukkan ke persamaan (2):

–1 + 2(1 + 2s) = 4s

–1 + 2 + 4s = 4s

1 = 0  (salah)

Jika dimasukkan ke persamaan (3):

2 + 3(1 + 2s) = 4 + 6s

2 + 3 + 6s = 4 + 6s

5 = 4 (salah)

Maka berapapun nilai t dan s, kedua garis tidak akan pernah berpotongan, sehingga dapat disimpulkan kedua garis itu saling sejajar.

 

Contoh 7:

Tentukan kedudukan antara

Jawab:

Karena vektor arah garis 1 bukan merupakan kelipatan vektor arah garis 2, maka kedua garis bisa bepotongan atau bersilangan.

Jika dicari perpotongan kedua garis

2 + t = 7 – s                 (1)

–1 + 2t = 6 – s             (2)

2 + 3t = 5 + s               (3)

Dari persamaan (1) diperoleh: t = 5 – s

Jika dimasukkan ke persamaan (2):

–1 + 2(5 – s) = 6 – s

–1 + 10 – 2s = 6 – s

9 – 6 = 2s – s

s = 3

sehingga t = 5 – 3 = 2

Jika s = 3 dan t = 2 disubstitusi ke persamaan (3):

2 + 3(2) = 5 + 3

8 = 8 (benar)

Maka kedua garis itu berpotongan.

Karena

Maka kedua garis itu saling berpotongan tegak lurus.

Titik potongnya dapat dicari dengan memasukkan nilai t = 2 ke persamaan garis 1 atau memasukkan nilai t = 3 ke persamaan garis 2:

Jadi, koordinat titik potongnya (4, 3, 8)

 

Contoh 8:

Tentukan kedudukan antara garis

Jawab:

Karena vektor arah garis 1 bukan merupakan kelipatan vektor arah garis 2, maka kedua garis bisa bepotongan atau bersilangan.

Jika dicari perpotongan kedua garis

2 + t = –2s                   (1)

–1 + 2t = 1 + 4s           (2)

2 + 3t = 2 – 2s             (3)

Dari persamaan (1) diperoleh: t = –2s – 2

Jika dimasukkan ke persamaan (2):

–1 + 2(–2s – 2) = 1 + 4s

–1 – 4s – 4 = 1 + 4s

–6 = 8s

s = –6/8 = –3/4

sehingga t = –2(–3/4) – 2 = 3/2 – 2 = –1/2

Jika s = –3/4  dan t = –1/2 disubstitusi ke persamaan (3):

2 + 3(–1/2) = 2 – 2(–3/4)

2 – 3/2 = 2 + 3/2 (salah)

Maka kedua garis itu tidak berpotongan, melainkan bersilangan.

 

Sudut antara Dua Garis

Untuk mencari sudut antara dua garis, sama halnya dengan mencari sudut antara dua vektor. Yang dicari adalah sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor arah garis kedua.

Jika dua buah garis dengan persamaan

Garis 1: r = (x0, y0, z0) + ta

Garis 2: r = (x1, y1, z1) +sb

Cosinus sudut q yang dibentuk antara kedua garis itu adalah:

Contoh 9:

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh:

Jawab:

Jika θ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis, maka:

Sudut yang dibentuk antara dua garis selalu diambil sudut lancipnya (yang berukuran kurang dari 90°). Sehingga untuk soal ini diambil nilai positif cosinusnya.

 

Jarak Titik ke Garis

Perhatikan gambar di atas. Untuk mencari jarak titik P ke garis l dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

  1. Tentukan koordinat Q pada garis l dimana PQ tegak lurus dengan garis l
  2. Jarak antara titik P ke garis l sama dengan panjang vektor PQ

Jika koordinat P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2), maka panjang vektor PQ adalah:

Contoh 10:

Tentukan jarak antara titik (2, 4, 5) ke garis r = (1, 2, 5) + t(–1, 2, –1).

Jawab:

Dengan mengacu pada gambar di atas, misalkan (2, 4, 5) adalah titik P. Koordinat titik Q pada garis di mana PQ tegak lurus terhadap garis adalah (x, y, z).

 

Advertisements
Posted in Matematika (Indonesia) | Leave a comment

Sifat Periodik Unsur-Unsur Periode 3 (1)

Sifat periodik adalah kemunculan pola yang sama antara deretan unsur di satu periode (satu baris dalam sistem periodik unsur) dan deretan unsur di periode lainnya.

Di sini akan dibahas mengenai pola yang terjadi di unsur-unsur di periode ketiga, yaitu: natrium/sodium (Na), magnesium (Mg), aluminium (Al), silikon (Si), fosfor (P), belerang/sulfur (S), klorin (Cl), dan argon (Ar)

Sifat Fisika

  1. Jari-jari atom

Cara mengukur jari-jari suatu atom (r) biasanya adalah dengan mengukur jari-jari kovalennya, seperti dapat dilihat pada gambar berikut:

Untuk atom yang tidak berikatan kovalen dengan atom lain, seperti argon (Ar), yang diukur adalah jari-jari van der Waals-nya, yaitu jarak antara inti atom tersebut dengan inti atom tetangganya, kemudian dibagi dua.

Dari Na ke Ar, jari-jari atom berkurang.

  • Dari kiri ke kanan tiap atom memiliki jumlah kulit/tingkat energi yang sama, namun jumlah proton dan jumlah elektronnya bertambah banyak 1. Karena tiap tambahan elektron menempati tingkat energi yang sama, sedangkan muatan intinya (jumlah protonnya) bertambah, maka gaya tarik inti ke elektron semakin besar, sehingga jari-jari atom pun mengecil.
  1. Jari-jari ion

Dari Na ke Si jari-jari ion menurun. P memiliki jari-jari ion lebih besar dari Na, kemudian menurun hingga Si.

  • Na, Mg, Al, dan Si cenderung membentuk ion positif (melepas elektron), sehingga ion-ionnya kehilangan tingkat energi tertingginya. Hal ini membuat jari-jari ion Na+, Mg2+, Al3+, dan Si4+ lebih kecil daripada jari-jari atomnya. Dan karena jari-jari atom dari Na ke Si berkurang, maka jari-jari ion Na+ hingga Si4+ pun berkurang.
  • P, S, dan Cl cenderung membentuk ion negatif (menerima eletron), sehingga di tingkat energi tertingginya jumlah elektronnya bertambah. Karena tambahan elektron itu, gaya tolak-menolak antar elektron di tingkat energi tertingginya bertambah, sehingga jari-jari P3–, S2–, dan Cl lebih besar daripada jari-jari atomnya. Dan karena jari-jari atom P ke Cl berkurang, jari-jari ion P3– ke Cl pun berkurang.
  1. Titik lebur

Dari Na ke Al meningkat. Titik lebur Si jauh lebih tinggi dari Al. Titik lebur P jauh di bawah Si, lebih rendah dari Na. S memiliki titik lebur sedikit di atas P, kemudian menurun hingga Ar.

  • Na, Mg dan Al memiliki struktur logam raksasa, dengan ikatan logam yang kuat di dalamnya. Ikatan logam terjadi antara ion logam yang positif dan elektron-elektron yang terdelokalisasi/lautan elektron. Dari Na ke Al, muatan positif ionnya bertambah (Na+, Mg2+, Al3+), ini artinya Na menyumbangkan 1 elektronnya ke lautan elektron, sementara Al menyumbangkan 3 elektronnya ke lautan elektron. Dan karena Al3+ lebih positif daripada Na+, ikatan logam Al pun lebih kuat daripada ikatan logam Na, sehingga dibutuhkan energi yang lebih kuat untuk memutus ikatan logam Al daripada Na. Hal inilah yang membuat peningkatan titik lebur dari Na ke Al.
  • Si memiliki struktur kovalen raksasa, di mana tiap atom Si berikatan kovalen yang sangat kuat dengan atom Si di sebelahnya. Inilah yang membuat titik didih Si jauh lebih tinggi daripada titik didih unsur lainnya di periode 3
  • P, S, dan Cl ada dalam bentuk molekul sederhana yaitu P4, S8, dan Cl2, yang hanya memiliki gaya van der Waals yang lemah antar molekulnya, sehingga tidak diperlukan energi yang besar untuk memutuskan ikatan antar molekulnya. Karena kekuatan gaya van der Waals dipengaruhi oleh banyaknya elektron (jumlah elektron P4 = 60, S8 = 128, Cl2 = 34), maka di antara ketiga unsur tersebut, S memiliki titik lebur tertinggi, kemudian P, dan yang terendah adalah Cl. Pada suhu kamar P dan S berwujud padat dengan titik lebur rendah, sedangkan Cl berwujud gas.
  • Ar hanya ada dalam bentuk atom tunggal, berwujud gas, dengan gaya van der Waals yang sangat lemah antar atomnya. Hal inilah yang membuat Ar memiliki titik lebur yang paling rendah.
  1. Daya hantar listrik dan sifat logam

Dari Na ke Al daya hantar listrik meningkat. Si memiliki daya hantar listrik yang jauh lebih rendah dari Al, kemudian menurun hingga S.

  • Seperti telah diuraikan dalam topik tentang titik lebur di atas, Al menyumbangakan elektron lebih banyak daripada Na dan Mg. Semakin banyak elektron yang ada dalam lautan elektron, daya hantar listrik pun meningkat. Na, Mg, dan Al tergolong konduktor karena dapat menghantarkan listrik. Na, Mg, Al pun tergolong logam.
  • Si tidak memiliki elektron bebas dalam strukturnya. Namun Si memiliki daya hantar listrik walaupun relatif lemah dibandingkan dengan Na, Mg dan Al, sehingga Si tergolong semikonduktor dan semi-logam/metaloid. Daya hantar listrik Si dapat dimunculkan dengan menambahkan unsur lain ke dalamnya (doping). Unsur yang ditambahkan misalnya Fosforus/P (dengan elektron valensi 5) atau Boron/B (dengan elektron valensi 3). Adanya atom lain tersebut dapat mengacaukan ikatan yang teratur antar atom Si sehingga muncul kelebihan elektron (jika yang ditambahkan P) atau kekurangan elektron/terjadinya “lubang” (jika yang ditambahkan B) sehingga Si dapat menghantar listrik.
  • P, S, dan Cl tidak dapat menghantar listrik sehingga termasuk nonkonduktor dan nonlogam.
  1. Energi ionisasi pertama

Secara umum, energi ionisasi meningkat dari Na ke Ar, tapi energi ionisasi Al lebih rendah dari Mg, dan energi ionisasi S lebih rendah dari P.

  • Energi ionisasi pertama adalah energi yang dibutuhkan untuk melepaskan 1 elektron dari kulit terluar suatu atom dalam wujud gas untuk membuat ion positif bermuatan +1 dalam wujud gas.
  • Secara umum, energi ionisasi pertama dari Na ke Ar meningkat karena jumlah muatan intinya bertambah, sedangkan jumlah kulitnya sama. Hal ini menyebabkan daya tarik inti terhadap elektron valensi meningkat, sehingga dari Na ke Ar semakin susah untuk melepaskan elektron valensinya (dibutuhkan energi yang semakin besar untuk melepas elektron valensinya).
  • Elektron valensi Al adalah 3s2 dan 3p1, sedangkan elektron valensi Mg adalah 3s2. 3p terletak di tingkat energi yang lebih tinggi daripada 3s, sehingga untuk melepas 1 elektron dari 3p dibutuhkan energi yang rendah daripada untuk melepas 1 elektron dari 3s. Inilah yang membuat energi ionisasi pertama Al lebih rendah dari Mg.
  • Elektron valensi S adalah 3s2 dan 3p4, sedangkan elektron valensi P adalah 3s2 dan 3p3. S memiliki 2 buah elektron di orbital 3px, sehingga terjadi gaya tolak-menolak antar elektron yang menyebabkan elektron valensi di S lebih mudah dilepaskan daripada elektron valensi di P. Inilah yang membuat energi ionisasi pertama S lebih rendah dari P.
Posted in Kimia (Cambridge AS/A Level), Kimia (Indonesia) | Tagged , | Leave a comment

Grafik dalam Koordinat Kutub

Pada bagian ini akan dibahas mengenai beberapa macam grafik dalam koordinat kutub.

 

Garis

Garis dalam koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai berikut:

  • Garis vertikal yang melalui (a, 0): r cos θ = a
  • Garis horisontal yang melalui (0, b): r sin θ = b
  • Garis yang melalui (0, 0): θ = θ0

grafik_kutub_01Contoh:

grafik_kutub_02

 

Lingkaran

Beberapa persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam koordinat kutub.

  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (0, 0): r = a
  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (a, 0): r = 2a cos θ
  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (0, a): r = 2a sin θ

grafik_kutub_03Contoh:

grafik_kutub_04

 

Kardioida dan Limaçon

Persamaan-persamaan dalam bentuk:

r = a + b sin θ

r = a – b sin θ

r = a + b cos θ

r = a – b cos θ

di mana a dan b adalah bilangan-bilangan positif, menghasilkan kurva-kurva yang disebut limaçon. Limaçon berasal dari kata Latin “limax” yang berarti siput.

Jika a = b, limaçon yang dihasilkan disebut kardioida (berasal dari kata Yunani “cardia” yang berarti jantung)

Beberapa bentuk limaçon yang terjadi adalah sebagai berikut:

grafik_kutub_05

Untuk

  • r = a + b sin θ → limaçon menghadap ke bawah
  • r = a – b sin θ → limaçon menghadap ke atas
  • r = a + b cos θ → limaçon menghadap ke kiri
  • r = a – b cos θ → limaçon menghadap ke kanan

Contoh 1:

Sketsalah grafik fungsi r = 2 + 2 sin θ

Tabel:

grafik_kutub_06

Gambar:

grafik_kutub_07

Contoh 2:

Sketsalah grafik fungsi r = 3 – 2 sin θ

Tabel:

grafik_kutub_08

Gambar:

grafik_kutub_09

Contoh 3:

Sketsalah grafik fungsi r =1 + 2 cos θ

Tabel:

grafik_kutub_10

Gambar:

grafik_kutub_11

Contoh 4:

Sketsalah grafik fungsi r = 2 – 2 cos θ

Tabel:

grafik_kutub_12

Gambar:

grafik_kutub_13

 

Lemniscate

Persamaan-persamaan dalam bentuk:

r2 = a2 cos 2θ

r2 = –a2 cos 2θ

r2 = a2 sin 2θ

r2 = –a2 sin 2θ

di mana a adalah bilangan positif, akan membentuk kurva yang berbentuk seperti baling-baling. Lemniscate berasal dari kata Yunani “lemniscos” yang berarti pita bergulung yang membentuk angka 8.

grafik_kutub_14Contoh:

Sketsalah kurva r2 = 4 cos 2θ

Tabel:

grafik_kutub_15

Gambar:

grafik_kutub_16

 

Spiral

Persamaan dalam bentuk: r = aθ

akan membentuk kurva yang berbentuk spiral, ujungnya dimulai dari titik asal (0, 0).

Banyaknya putaran dalam spiral tergantung dari kisaran nilai θ. Jika θ berkisar dari 0 hingga 2π, spiral yang terbentuk memiliki 1 putaran. Jika θ berkisar dari 0 hingga 4π, spiral yang terbentuk memiliki 2 putaran, dan seterusnya.

Contoh 1:

Sketsalah grafik kurva r = θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2π

Tabel:

grafik_kutub_17

Gambar:

grafik_kutub_18

Contoh 2:

Sketsalah grafik kurva r = – ½ θ untuk 0 ≤ θ ≤ 4π

Tabel:

grafik_kutub_19

Gambar:

grafik_kutub_20

 

Kurva Rose

Persamaan-persaman dalam bentuk:

r = a sin nθ

r = a cos nθ

akan membentuk kurva-kurva yang berbentuk bunga yang disebut rose (mawar).

Jika n gasal, rose akan mempunyai n daun.

Jika n genap, rose akan mempunyai 2n daun.

grafik_kutub_21

Contoh:

Sketsalah kurva r = 4 cos 2θ

Tabel:

grafik_kutub_22

Gambar:

grafik_kutub_23

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , , , , , | 2 Comments

Koordinat Kutub

Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan (r, θ), di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam.

polar01

Beberapa contoh koordinat kutub:

polar02

Beberapa koordinat kutub ini menyatakan posisi titik yang sama:

polar03

 

Hubungan antara Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut ini:

polar04Untuk menyatakan koordinat Cartesius dalam koordinat kutub dapat digunakan rumus berikut:

polar_eq01Sedangkan untuk menyatakan koordinat kutub dalam koordinat Cartesius dapat digunakan rumus berikut:

polar_eq02

Contoh 1:

polar_eq03

Contoh 2:

Dapatkan koordinat Cartesius dari (3, –45°)

Jawab:

polar_eq04

 

Sketsa Grafik dalam Koordinat Kutub

Suatu grafik dapat dinyatakan dalam sistem koordinat kutub. Untuk membuat sketsanya, akan lebih mudah jika menggunakan tabel untuk mencari nilai r untuk θ dari 0 hingga 2π radian.

Contoh:

Sketsalah grafik r = 4 sin 2θ

Tabel:

polar05

Sketsa: (setiap warna pada tabel diwakili oleh garis yang berwarna sama pada gambar)

polar06

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , | 6 Comments

Integral (VII) – Dalil Guldin I

Pada topik aplikasi integral sebelumnya, dibahas mengenai aplikasi integral untuk mencari letak titik berat suatu luasan.

guldin1_01Secara singkat, titik berat suatu bidang datar homogen yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, dan garis x = a dan x = b dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

guldin1form_01Sedangkan jika bidang datar tersebut dibatasi oleh kurva y1 = f1(x), y2 = f2(x), garis x = a, dan x = b,

guldin1_02titik beratnya dapat dicari dengan:

guldin1form_02Dalil Guldin I menyatakan:

Jika suatu luasan bidang datar diputar penuh pada garis/sumbu yang sebidang dengan luasan itu dan tidak memotong luasan itu, maka volume benda putar yang terjadi (V) sama dengan luas dataran itu (L) dikalikan dengan lintasan titik beratnya (2πyp).

guldin1form_03

guldin1_03Jadi, Dalil Guldin I dapat digunakan untuk mencari volume suatu benda putar dengan mudah jika sumbu putarnya miring.

guldin1_04Jika sumbu putarnya miring, yp dapat dicari dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis, sehingga yp adalah jarak titik berat ke garis yang menjadi sumbu putar. Misalkan titik berat bidang homogen adalah (p, q) dan sumbu putarnya adalah garis ax + by + c = 0, maka:

guldin1form_04Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada contoh-contoh berikut ini:

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = x

Gambar:

guldin1_05 Perpotongan:

x2 = x

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

x = 0 → y = 0 → (0, 0)

x = 1 → y = 1 → (1, 1)

Cara biasa:

Garis y = x memiliki gradien sebesar 1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = 1 dan α = 45°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu x, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_06Persamaan kurva dan garis setelah dirotasi 45° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) adalah:

guldin1form_05

Sehingga persamaan kurva dan garisnya berubah menjadi:

guldin1form_06

Setelah itu, volume benda putar yang terjadi dapat dicari dengan menggunakan metode cakram:

guldin1form_07

Dengan Dalil Guldin I:

guldin1_07Pertama-tama, dihitung luas bidang:

guldin1form_08

Setelah itu dihitung koordinat titik berat bidang:

guldin1form_09

Setelah itu hitung yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = x atau x – y = 0

guldin1form_10

Dalil Guldin I:

guldin1form_11

 

Contoh 2:

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = –x

Gambar:

guldin1_08Cara Biasa:

Garis y = –x memiliki gradien sebesar –1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = –1 dan α = 135°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu y, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_09Setelah dirotasi, persamaan kurva yang dihasilkan sama dengan persamaan pada contoh 1, sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan dengan metode cincin silinder sebagai berikut:

guldin1form_12

Dengan Dalil Guldin I:

Titik berat bidang dan luasannya sama dengan yang diperoleh pada contoh 1 (titik berat (1/2, 2/5), luas = 1/6), sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = –x atau x + y = 0

guldin1_10guldin1form_13

Dalil Guldin I:

guldin1form_14

 

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , | 10 Comments