Grafik dalam Koordinat Kutub

Pada bagian ini akan dibahas mengenai beberapa macam grafik dalam koordinat kutub.

 

Garis

Garis dalam koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai berikut:

  • Garis vertikal yang melalui (a, 0): r cos θ = a
  • Garis horisontal yang melalui (0, b): r sin θ = b
  • Garis yang melalui (0, 0): θ = θ0

grafik_kutub_01Contoh:

grafik_kutub_02

 

Lingkaran

Beberapa persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam koordinat kutub.

  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (0, 0): r = a
  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (a, 0): r = 2a cos θ
  • Lingkaran berjari-jari a dengan pusat (0, a): r = 2a sin θ

grafik_kutub_03Contoh:

grafik_kutub_04

 

Kardioida dan Limaçon

Persamaan-persamaan dalam bentuk:

r = a + b sin θ

r = a – b sin θ

r = a + b cos θ

r = a – b cos θ

di mana a dan b adalah bilangan-bilangan positif, menghasilkan kurva-kurva yang disebut limaçon. Limaçon berasal dari kata Latin “limax” yang berarti siput.

Jika a = b, limaçon yang dihasilkan disebut kardioida (berasal dari kata Yunani “cardia” yang berarti jantung)

Beberapa bentuk limaçon yang terjadi adalah sebagai berikut:

grafik_kutub_05

Untuk

  • r = a + b sin θ → limaçon menghadap ke bawah
  • r = a – b sin θ → limaçon menghadap ke atas
  • r = a + b cos θ → limaçon menghadap ke kiri
  • r = a – b cos θ → limaçon menghadap ke kanan

Contoh 1:

Sketsalah grafik fungsi r = 2 + 2 sin θ

Tabel:

grafik_kutub_06

Gambar:

grafik_kutub_07

Contoh 2:

Sketsalah grafik fungsi r = 3 – 2 sin θ

Tabel:

grafik_kutub_08

Gambar:

grafik_kutub_09

Contoh 3:

Sketsalah grafik fungsi r =1 + 2 cos θ

Tabel:

grafik_kutub_10

Gambar:

grafik_kutub_11

Contoh 4:

Sketsalah grafik fungsi r = 2 – 2 cos θ

Tabel:

grafik_kutub_12

Gambar:

grafik_kutub_13

 

Lemniscate

Persamaan-persamaan dalam bentuk:

r2 = a2 cos 2θ

r2 = –a2 cos 2θ

r2 = a2 sin 2θ

r2 = –a2 sin 2θ

di mana a adalah bilangan positif, akan membentuk kurva yang berbentuk seperti baling-baling. Lemniscate berasal dari kata Yunani “lemniscos” yang berarti pita bergulung yang membentuk angka 8.

grafik_kutub_14Contoh:

Sketsalah kurva r2 = 4 cos 2θ

Tabel:

grafik_kutub_15

Gambar:

grafik_kutub_16

 

Spiral

Persamaan dalam bentuk: r = aθ

akan membentuk kurva yang berbentuk spiral, ujungnya dimulai dari titik asal (0, 0).

Banyaknya putaran dalam spiral tergantung dari kisaran nilai θ. Jika θ berkisar dari 0 hingga 2π, spiral yang terbentuk memiliki 1 putaran. Jika θ berkisar dari 0 hingga 4π, spiral yang terbentuk memiliki 2 putaran, dan seterusnya.

Contoh 1:

Sketsalah grafik kurva r = θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2π

Tabel:

grafik_kutub_17

Gambar:

grafik_kutub_18

Contoh 2:

Sketsalah grafik kurva r = – ½ θ untuk 0 ≤ θ ≤ 4π

Tabel:

grafik_kutub_19

Gambar:

grafik_kutub_20

 

Kurva Rose

Persamaan-persaman dalam bentuk:

r = a sin nθ

r = a cos nθ

akan membentuk kurva-kurva yang berbentuk bunga yang disebut rose (mawar).

Jika n gasal, rose akan mempunyai n daun.

Jika n genap, rose akan mempunyai 2n daun.

grafik_kutub_21

Contoh:

Sketsalah kurva r = 4 cos 2θ

Tabel:

grafik_kutub_22

Gambar:

grafik_kutub_23

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , , , , , | Leave a comment

Koordinat Kutub

Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan (r, θ), di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam.

polar01

Beberapa contoh koordinat kutub:

polar02

Beberapa koordinat kutub ini menyatakan posisi titik yang sama:

polar03

 

Hubungan antara Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut ini:

polar04Untuk menyatakan koordinat Cartesius dalam koordinat kutub dapat digunakan rumus berikut:

polar_eq01Sedangkan untuk menyatakan koordinat kutub dalam koordinat Cartesius dapat digunakan rumus berikut:

polar_eq02

Contoh 1:

polar_eq03

Contoh 2:

Dapatkan koordinat Cartesius dari (3, –45°)

Jawab:

polar_eq04

 

Sketsa Grafik dalam Koordinat Kutub

Suatu grafik dapat dinyatakan dalam sistem koordinat kutub. Untuk membuat sketsanya, akan lebih mudah jika menggunakan tabel untuk mencari nilai r untuk θ dari 0 hingga 2π radian.

Contoh:

Sketsalah grafik r = 4 sin 2θ

Tabel:

polar05

Sketsa: (setiap warna pada tabel diwakili oleh garis yang berwarna sama pada gambar)

polar06

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , | 4 Comments

Integral (VII) – Dalil Guldin I

Pada topik aplikasi integral sebelumnya, dibahas mengenai aplikasi integral untuk mencari letak titik berat suatu luasan.

guldin1_01Secara singkat, titik berat suatu bidang datar homogen yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, dan garis x = a dan x = b dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

guldin1form_01Sedangkan jika bidang datar tersebut dibatasi oleh kurva y1 = f1(x), y2 = f2(x), garis x = a, dan x = b,

guldin1_02titik beratnya dapat dicari dengan:

guldin1form_02Dalil Guldin I menyatakan:

Jika suatu luasan bidang datar diputar penuh pada garis/sumbu yang sebidang dengan luasan itu dan tidak memotong luasan itu, maka volume benda putar yang terjadi (V) sama dengan luas dataran itu (L) dikalikan dengan lintasan titik beratnya (2πyp).

guldin1form_03

guldin1_03Jadi, Dalil Guldin I dapat digunakan untuk mencari volume suatu benda putar dengan mudah jika sumbu putarnya miring.

guldin1_04Jika sumbu putarnya miring, yp dapat dicari dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis, sehingga yp adalah jarak titik berat ke garis yang menjadi sumbu putar. Misalkan titik berat bidang homogen adalah (p, q) dan sumbu putarnya adalah garis ax + by + c = 0, maka:

guldin1form_04Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada contoh-contoh berikut ini:

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = x

Gambar:

guldin1_05 Perpotongan:

x2 = x

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

x = 0 → y = 0 → (0, 0)

x = 1 → y = 1 → (1, 1)

Cara biasa:

Garis y = x memiliki gradien sebesar 1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = 1 dan α = 45°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu x, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_06Persamaan kurva dan garis setelah dirotasi 45° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) adalah:

guldin1form_05

Sehingga persamaan kurva dan garisnya berubah menjadi:

guldin1form_06

Setelah itu, volume benda putar yang terjadi dapat dicari dengan menggunakan metode cakram:

guldin1form_07

Dengan Dalil Guldin I:

guldin1_07Pertama-tama, dihitung luas bidang:

guldin1form_08

Setelah itu dihitung koordinat titik berat bidang:

guldin1form_09

Setelah itu hitung yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = x atau x – y = 0

guldin1form_10

Dalil Guldin I:

guldin1form_11

 

Contoh 2:

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = –x

Gambar:

guldin1_08Cara Biasa:

Garis y = –x memiliki gradien sebesar –1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = –1 dan α = 135°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu y, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_09Setelah dirotasi, persamaan kurva yang dihasilkan sama dengan persamaan pada contoh 1, sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan dengan metode cincin silinder sebagai berikut:

guldin1form_12

Dengan Dalil Guldin I:

Titik berat bidang dan luasannya sama dengan yang diperoleh pada contoh 1 (titik berat (1/2, 2/5), luas = 1/6), sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = –x atau x + y = 0

guldin1_10guldin1form_13

Dalil Guldin I:

guldin1form_14

 

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , | 10 Comments

Listrik Statis – Konsep

Sisir plastik yang telah digosok dengan kain wol tiba-tiba dapat menarik potongan-potongan kecil kertas yang berada di dekatnya. Batang kaca yang telah digosok dengan kain sutera juga dapat menarik potongan-potongan kecil kertas di dekatnya. Apakah itu sihir? Tentu tidak, fenomena-fenomena ini dapat dijelaskan dengan memahami konsep induksi listrik seperti yang akan dijelaskan berikut ini.

Atom

Setiap benda tersusun atas atom-atom. Di dalam setiap atom terdapat bagian yang lebih kecil lagi, yaitu proton, neutron, dan elekron. Proton dan neutron terletak di bagian tengah atom, menyusun inti atom atau nukleus. Elektron-elektron terletak di luar inti atom dan mengelilingi inti atom. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada model atom Bohr berikut ini:

list_statis_01Proton memiliki muatan listrik positif, neutron tidak bermuatan listrik (netral), dan elektron memiliki muatan listrik negatif. Karena neutron tidak bermuatan, sedangkan proton bermuatan positif, maka inti atom bermuatan positif. Setiap atom memiliki jumlah proton dan elektron yang sama, sehingga atom bersifat netral.

 

Muatan Listrik

Elektron yang mengelilingi inti atom dapat bergerak meninggalkan atom untuk bergabung dengan atom lain. Jika suatu atom kehilangan elektronnya, atom akan bermuatan positif (karena jumlah muatan negatifnya lebih sedikit daripada jumlah muatan positifnya). Jika suatu atom memperoleh elektron, atom akan menjadi bermuatan negatif (karena jumlah muatan negatifnya lebih banyak daripada muatan positifnya. Atom yang bermuatan listrik disebut juga ion. Jadi, ada dua jenis ion, yaitu ion positif dan ion negatif.

Jika benda bermuatan sama didekatkan (positif dengan positif atau negatif dengan negatif), kedua benda akan tolak-menolak. Sedangkan jika benda yang berbeda muatan didekatkan (positif dengan negatif), kedua benda akan tarik-menarik.

 

Memberi Muatan Listrik

Suatu benda yang bersifat netral dapat diberi muatan listrik dengan cara menambah atau mengurangi jumlah elektron yang dimilikinya. Ada beberapa cara untuk memberi muatan listrik pada suatu benda, misalnya dengan penggosokan, penyentuhan, dan induksi.

Penggosokan

Jika dua buah benda yang erbuat dari bahan yang berbeda digosokkan satu sama lain, aka nada sejumla kecil elektron yang berpindah dari satu benda ke benda lainnya. Benda yang kehilangan elektron akan menjadi bermuatan positif, sedangkan benda yang memperoleh elektron akan menjadi bermuatan negatif. Perpindahan elektron tergantung pada jenis benda yang digosokkan.

 

Penyentuhan

Berdasarkan kemampuannya menghantarkan listrik, benda dibedakan menjadi konduktor dan isolator. Konduktor adalah benda yang dapat menghantar listrik, sedangkan isolator adalah benda yang tiak dapat menghantar listrik. Konduktor mengandung pembawa muatan sehingga dapat menghantar listrik, sedangkan isolator tidak mengandung pembawa muatan.

Jika sebuah konduktor yang bermuatan disentuhkan dengan benda lain yang tidak bermuatan, akan terjadi aliran elektron dari konduktor yang mempunyai elektron lebih banyak, sehingga konduktor yang tidak bermuatan juga menjadi bermuatan. Besarnya muatan listrik yang mengalir tergantung pada kemampuan benda untuk menyimpannya.

 

Induksi

Suatu benda yang bermuatan dapat memberikan muatannya pada benda netral di dekatnya tanpa menyentuhnya. Prosesnya dapat digambarkan seperti pada contoh berikut ini:

list_statis_02Sebuah benda bermuatan positif didekatkan pada benda netral. Benda bermuatan positif ini berperan sebagai benda penginduksi.

list_statis_03Karena yang mendekati adalah benda bermuatan positif, elektron-elektron pada benda yang netral akan berpindah ke bagian yang lebih dekat pada benda penginduksi tersebut, sehingga bagian yang berada di dekat benda penginduksi akan menjadi kutub negatif. Bagian yang ditinggalkan oleh elektron-elekron itu menjadi bermuatan positif. Sehingga terjadi tarik-menarik antara benda penginduksi dan benda netral tersebut.

Demikian pula yang terjadi jika benda penginduksinya adalah benda bermuatan negatif.

Karena yang mendekati adalah benda bermuatan negatif, elektron-elektron pada benda netral akan bergerak menjauhi benda penginduksi tersebut, sehingga bagian yang berada di dekat benda penginduksi menjadi kutub positif, dan bagian yang berada jauh dari benda penginduksi menjadi kutub negatif.

list_statis_04Dengan demikian, induksi adalah peristiwa pemisahan muatan dalam satu benda. Muatan yang berada di dekat benda penginduksi disebut muatan induksi.

Jika benda penginduksi dijauhkan dari benda netral tadi, elektron-elektron pada benda netral itu akan kembali tersebar merata di seluruh bagian benda sehingga benda kembali netral, tidak ada lagi kutub negatif dan kutub positif. Pemberian muatan ini bersifat sementara.

Pemberian muatan secara induksi juga dapat terjadi secara permanen, dengan menggunakan bantuan konduktor lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh berikut ini:

list_statis_05Benda A yang bermuatan positif didekatkan pada benda B yang netral. Akibatnya, pada bagian yang dekat dengan benda penginduksi menjadi kutub negatif, dan bagian yang jauh dari benda penginduksi menjadi kutub positif. Setelah itu, kutub positif benda B dihubungkan ke bumi dengan kawat logam (dikenal dengan istilah ditanahkan). Karena adanya kawat logam itu, elektron dari bumi mengalir ke benda netral tersebut. Jika kawat logam itu dilepas, benda B menjadi bermuatan negatif, karena kelebihan elektron. Sehingga, walaupun setelah itu benda A dijauhkan dari benda B, benda B tetap bermuatan negatif.

Fenomena induksi ini dapat terlihat pada peristiwa sisir plastik yang digosok, yang kemudian dapat menarik potongan-potongan kertas. Sisir plastik yang belum digosok masih bersifat netral. Setelah digosok dengan kain wol, terjadi perpindahan elektron dari kain ke sisr plastik, sehingga  sisir plastik menjadi bermuatan negatif. Jika sisir plastik yang sudah bermuatan tadi didekatkan pada potongan-potongan kecil kertas yang netral, akan terjadi peristiwa induksi, sehingga sisir plastik dapat menarik potongan-potongan kertas.

 

Posted in Fisika (Indonesia) | Tagged , | Leave a comment

Integral (VI) – Menghitung Titik Berat Bidang

Titik berat suatu bidang adalah titik pusat gravitasi yang bekerja pada suatu bidang.

Titik berat suatu bidang persegi panjang terletak di tengah-tengah bidang tersebut, seperti dapat dilihat pada gambar berikut:

titik_berat01Jika terdapat beberapa elemen bidang persegi panjang dengan berat masing-masing w1, w2, dan w3, seperti pada gambar berikut:

titik_berat02Titik beratnya dapat dihitung dengan cara:

ttk_brt_01

Karena berat suatu luasan berbanding lurus dengan luasnya, maka perhitungannya dapat diganti menjadi:

ttk_brt_02A1, A2, dan A3 adalah luas masing-masing elemen bidang, dan A adalah jumlah luasan bidang.

Jika tiap elemen bidang luasnya sangat kecil, dilambangkan dengan dA, dan terdapat sangat banyak elemen, maka penjumlahan elemen-elemen luas tersebut dapat menggunakan cara integral.

ttk_brt_03

xel dan yel adalah koordinat titik berat elemen bidang.

 

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik berat bidang yang diarsir pada gambar berikut ini:

titik_berat03Dari gambar tersebut dapat dibuat elemen bidang dengan luas dA sebagai berikut:

titik_berat04Untuk x = b, y = h, maka:

y = kx → h = kb → k = h/b → Jadi, y = h/b x

ttk_brt_04

Jadi koordinat titik berat bidang tersebut adalah (2/3 b, 1/3 h)

 

Contoh 2: 

Tentukan koordinat titik berat bidang yang diarsir pada gambar berikut ini:

titik_berat05

Dari gambar berikut dapat dibuat elemen bidang dengan luas dA sebagai berikut:

titik_berat06Untuk x = a, y = b, maka:

y = mx → b = ma → m = b/a → Jadi, y = b/a x

y = kx2 → b = ka2 → k = b/a2 → Jadi, y = b/a2 x2

ttk_brt_05

Jadi, koordinat titik berat bidang tersebut adalah (1/2 a, 2/5 b)

 

Contoh 3:

Tentukan koordinat titik berat bidang yang dibatasi oleh y = ½ x2 dan y = 1/8 x3

Dari fungsi-fungsi yang diberikan dapat dibuat gambarnya sebagai berikut:

titik_berat07Titik potong kedua kurva:

½ x2 = 1/8 x3

Kalikan kedua ruas dengan 8:

4x2 = x3

x3 – 4x2 = 0

x2(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

ttk_brt_06

 

Posted in Fisika (Indonesia), Matematika (Indonesia) | Tagged , , | 2 Comments