Sticky Post

Ada tambahan di bagian suku banyak/polinomial, pada bagian tips mencari akar-akar suatu suku banyak :)

Posted in Welcome | Leave a comment

Listrik Statis – Konsep

Sisir plastik yang telah digosok dengan kain wol tiba-tiba dapat menarik potongan-potongan kecil kertas yang berada di dekatnya. Batang kaca yang telah digosok dengan kain sutera juga dapat menarik potongan-potongan kecil kertas di dekatnya. Apakah itu sihir? Tentu tidak, fenomena-fenomena ini dapat dijelaskan dengan memahami konsep induksi listrik seperti yang akan dijelaskan berikut ini.

Atom

Setiap benda tersusun atas atom-atom. Di dalam setiap atom terdapat bagian yang lebih kecil lagi, yaitu proton, neutron, dan elekron. Proton dan neutron terletak di bagian tengah atom, menyusun inti atom atau nukleus. Elektron-elektron terletak di luar inti atom dan mengelilingi inti atom. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada model atom Bohr berikut ini:

list_statis_01Proton memiliki muatan listrik positif, neutron tidak bermuatan listrik (netral), dan elektron memiliki muatan listrik negatif. Karena neutron tidak bermuatan, sedangkan proton bermuatan positif, maka inti atom bermuatan positif. Setiap atom memiliki jumlah proton dan elektron yang sama, sehingga atom bersifat netral.

 

Muatan Listrik

Elektron yang mengelilingi inti atom dapat bergerak meninggalkan atom untuk bergabung dengan atom lain. Jika suatu atom kehilangan elektronnya, atom akan bermuatan positif (karena jumlah muatan negatifnya lebih sedikit daripada jumlah muatan positifnya). Jika suatu atom memperoleh elektron, atom akan menjadi bermuatan negatif (karena jumlah muatan negatifnya lebih banyak daripada muatan positifnya. Atom yang bermuatan listrik disebut juga ion. Jadi, ada dua jenis ion, yaitu ion positif dan ion negatif.

Jika benda bermuatan sama didekatkan (positif dengan positif atau negatif dengan negatif), kedua benda akan tolak-menolak. Sedangkan jika benda yang berbeda muatan didekatkan (positif dengan negatif), kedua benda akan tarik-menarik.

 

Memberi Muatan Listrik

Suatu benda yang bersifat netral dapat diberi muatan listrik dengan cara menambah atau mengurangi jumlah elektron yang dimilikinya. Ada beberapa cara untuk memberi muatan listrik pada suatu benda, misalnya dengan penggosokan, penyentuhan, dan induksi.

Penggosokan

Jika dua buah benda yang erbuat dari bahan yang berbeda digosokkan satu sama lain, aka nada sejumla kecil elektron yang berpindah dari satu benda ke benda lainnya. Benda yang kehilangan elektron akan menjadi bermuatan positif, sedangkan benda yang memperoleh elektron akan menjadi bermuatan negatif. Perpindahan elektron tergantung pada jenis benda yang digosokkan.

 

Penyentuhan

Berdasarkan kemampuannya menghantarkan listrik, benda dibedakan menjadi konduktor dan isolator. Konduktor adalah benda yang dapat menghantar listrik, sedangkan isolator adalah benda yang tiak dapat menghantar listrik. Konduktor mengandung pembawa muatan sehingga dapat menghantar listrik, sedangkan isolator tidak mengandung pembawa muatan.

Jika sebuah konduktor yang bermuatan disentuhkan dengan benda lain yang tidak bermuatan, akan terjadi aliran elektron dari konduktor yang mempunyai elektron lebih banyak, sehingga konduktor yang tidak bermuatan juga menjadi bermuatan. Besarnya muatan listrik yang mengalir tergantung pada kemampuan benda untuk menyimpannya.

 

Induksi

Suatu benda yang bermuatan dapat memberikan muatannya pada benda netral di dekatnya tanpa menyentuhnya. Prosesnya dapat digambarkan seperti pada contoh berikut ini:

list_statis_02Sebuah benda bermuatan positif didekatkan pada benda netral. Benda bermuatan positif ini berperan sebagai benda penginduksi.

list_statis_03Karena yang mendekati adalah benda bermuatan positif, elektron-elektron pada benda yang netral akan berpindah ke bagian yang lebih dekat pada benda penginduksi tersebut, sehingga bagian yang berada di dekat benda penginduksi akan menjadi kutub negatif. Bagian yang ditinggalkan oleh elektron-elekron itu menjadi bermuatan positif. Sehingga terjadi tarik-menarik antara benda penginduksi dan benda netral tersebut.

Demikian pula yang terjadi jika benda penginduksinya adalah benda bermuatan negatif.

Karena yang mendekati adalah benda bermuatan negatif, elektron-elektron pada benda netral akan bergerak menjauhi benda penginduksi tersebut, sehingga bagian yang berada di dekat benda penginduksi menjadi kutub positif, dan bagian yang berada jauh dari benda penginduksi menjadi kutub negatif.

list_statis_04Dengan demikian, induksi adalah peristiwa pemisahan muatan dalam satu benda. Muatan yang berada di dekat benda penginduksi disebut muatan induksi.

Jika benda penginduksi dijauhkan dari benda netral tadi, elektron-elektron pada benda netral itu akan kembali tersebar merata di seluruh bagian benda sehingga benda kembali netral, tidak ada lagi kutub negatif dan kutub positif. Pemberian muatan ini bersifat sementara.

Pemberian muatan secara induksi juga dapat terjadi secara permanen, dengan menggunakan bantuan konduktor lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh berikut ini:

list_statis_05Benda A yang bermuatan positif didekatkan pada benda B yang netral. Akibatnya, pada bagian yang dekat dengan benda penginduksi menjadi kutub negatif, dan bagian yang jauh dari benda penginduksi menjadi kutub positif. Setelah itu, kutub positif benda B dihubungkan ke bumi dengan kawat logam (dikenal dengan istilah ditanahkan). Karena adanya kawat logam itu, elektron dari bumi mengalir ke benda netral tersebut. Jika kawat logam itu dilepas, benda B menjadi bermuatan negatif, karena kelebihan elektron. Sehingga, walaupun setelah itu benda A dijauhkan dari benda B, benda B tetap bermuatan negatif.

Fenomena induksi ini dapat terlihat pada peristiwa sisir plastik yang digosok, yang kemudian dapat menarik potongan-potongan kertas. Sisir plastik yang belum digosok masih bersifat netral. Setelah digosok dengan kain wol, terjadi perpindahan elektron dari kain ke sisr plastik, sehingga  sisir plastik menjadi bermuatan negatif. Jika sisir plastik yang sudah bermuatan tadi didekatkan pada potongan-potongan kecil kertas yang netral, akan terjadi peristiwa induksi, sehingga sisir plastik dapat menarik potongan-potongan kertas.

 

Posted in Fisika (Indonesia) | Tagged , | Leave a comment

Integral (VI) – Menghitung Titik Berat Bidang

Titik berat suatu bidang adalah titik pusat gravitasi yang bekerja pada suatu bidang.

Titik berat suatu bidang persegi panjang terletak di tengah-tengah bidang tersebut, seperti dapat dilihat pada gambar berikut:

titik_berat01Jika terdapat beberapa elemen bidang persegi panjang dengan berat masing-masing w1, w2, dan w3, seperti pada gambar berikut:

titik_berat02Titik beratnya dapat dihitung dengan cara:

ttk_brt_01

Karena berat suatu luasan berbanding lurus dengan luasnya, maka perhitungannya dapat diganti menjadi:

ttk_brt_02A1, A2, dan A3 adalah luas masing-masing elemen bidang, dan A adalah jumlah luasan bidang.

Jika tiap elemen bidang luasnya sangat kecil, dilambangkan dengan dA, dan terdapat sangat banyak elemen, maka penjumlahan elemen-elemen luas tersebut dapat menggunakan cara integral.

ttk_brt_03

xel dan yel adalah koordinat titik berat elemen bidang.

 

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik berat bidang yang diarsir pada gambar berikut ini:

titik_berat03Dari gambar tersebut dapat dibuat elemen bidang dengan luas dA sebagai berikut:

titik_berat04Untuk x = b, y = h, maka:

y = kx → h = kb → k = h/b → Jadi, y = h/b x

ttk_brt_04

Jadi koordinat titik berat bidang tersebut adalah (2/3 b, 1/3 h)

 

Contoh 2: 

Tentukan koordinat titik berat bidang yang diarsir pada gambar berikut ini:

titik_berat05

Dari gambar berikut dapat dibuat elemen bidang dengan luas dA sebagai berikut:

titik_berat06Untuk x = a, y = b, maka:

y = mx → b = ma → m = b/a → Jadi, y = b/a x

y = kx2 → b = ka2 → k = b/a2 → Jadi, y = b/a2 x2

ttk_brt_05

Jadi, koordinat titik berat bidang tersebut adalah (1/2 a, 2/5 b)

 

Contoh 3:

Tentukan koordinat titik berat bidang yang dibatasi oleh y = ½ x2 dan y = 1/8 x3

Dari fungsi-fungsi yang diberikan dapat dibuat gambarnya sebagai berikut:

titik_berat07Titik potong kedua kurva:

½ x2 = 1/8 x3

Kalikan kedua ruas dengan 8:

4x2 = x3

x3 – 4x2 = 0

x2(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

ttk_brt_06

 

Posted in Fisika (Indonesia), Matematika (Indonesia) | Tagged , , | Leave a comment

Menggambar Grafik (V) – Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial di sini adalah fungsi dalam bentuk y = axn + bxn–1 + …  dengan n > 2

Untuk menggambar grafik fungsi polinomial dibutuhkan pemahaman terlebih dahulu mengenai turunan atau diferensial, yang dapat dibaca di sini.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi polinomial:

  1. Menentukan titik potong dengan sumbu-x (y = 0)
  2. Menentukan titik potong dengan sumbu-y (x = 0)
  3. Menentukan titik ekstrim dengan cara turunan (y’ = 0)

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh gambar grafik fungsi polinomial.

 

Contoh 1:

Gambarlah grafik fungsi y = x4 – 4x2 – 5!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

x4 – 4x2 – 5 = 0

(x2 – 5)(x2 + 1) = 0

x2 – 5 = 0 atau x2 + 1 = 0

x2 = 5 atau x2 = –1

karena x2 = –1 tidak memenuhi untuk x bilangan Real, maka yang digunakan x2 = 5 → x = ±√5

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (√5, 0) dan (–√5, 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 04 – 4(0)2 – 5 = –5

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, –5)

Titik ekstrim (y’ = 0)

y’ = 0

4x3 – 8x = 0

4x(x2 – 2) = 0

4x = 0 atau x2 – 2 = 0

x = 0 atau x = ±√2

Untuk x = 0 → y = 04 – 4(0)2 – 5 = –5

Untuk x = –√2 → y = (–√2)4 – 4(–√2)2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Untuk x = √2 → y = (√2)4 – 4(√2)2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Jadi, titik-titik ekstrimnya: (0,  –5), (–√2, –9), (√2, –9)

Sketsa:

Jika x = 1 → y’ = 4(1)3 – 8(1) = –4 (negatif)

Tanda positif dan negatif berselang-seling. Karena x = 1 hasilnya negatif, maka antara 0 dan √2 diberi tanda negatif, antara –√2 dan 0 diberi tanda positif, di sebelah kiri –√2 diberi tanda negatif, dan di sebelah kanan √2 diberi tanda positif.

Jika bertanda negatif, gambar garis turun, jika bertanda positif, gambar garis naik.

grafik_poli_01

Gambar Fungsi:

grafik_poli_02

 

Contoh 2:

Gambarlah grafik fungsi y = 5x3 – 3x5!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

5x3 – 3x5 = 0

x3(5 – 3x2) = 0

x3 = 0 atau 5 – 3x2 = 0

x = 0 atau 3x2 = 5

x = 0 atau x = ±√(5/3)

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (0, 0), (–√(5/3), 0), (√(5/3), 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 5(0)3 – 3(0)5 = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, 0)

Titik ekstrim (y’ = 0):

y’ = 0

15x2 – 15x4 = 0

15x2(1 – x2) = 0

15x2 = 0 atau 1 – x2 = 0

Untuk 15x2 = 0 → x = ±0 (batas rangkap untuk x = 0)

Untuk 1 – x2 = 0

x2 = 1 → x = ±√1 = ± 1

x = 0 → y = 0

x = –1 → y = 5(–1)3 – 3(–1)5 = –5 + 3 = –2

x = 1 → y = 5(1)3 – 3(1)5 = 5 – 3 = 2

Jadi, titik-titik ekstrimnya: (0, 0), (–1, –2), (1, 2)

Sketsa:

Jika x = 10 → y’ = 15(10)2 – 15(10)4 = 1500 – 1500000 → hasilnya negatif

Karena 0 merupakan batas rangkap, maka tidak merubah tanda. Karena untuk x = 0 hasilnya negatif, di sebelah kanan 1 diberi tanda negatif, antara 0 dan 1 diberi tanda positif, antara –1 dan 0 tandanya tetap positif, dan di sebelah kiri –1 diberi tanda negatif.

grafik_poli_03

Gambar Fungsi:

grafik_poli_04

 

Contoh 3:

Gambarlah grafik fungsi y = x4 – x3!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

x4 –x3 = 0

x3(x – 1) = 0

x = 0 atau x – 1 = 0

x = 0 atau x = 1

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (0, 0), (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 04 – 03 = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, 0)

Titik ekstrim (y’ = 0):

y’ = 0

4x3 – 3x2 = 0

x2(4x – 3) = 0

x2 = 0 atau 4x – 3 = 0

x = ±0 (batas rangkap) atau 4x = 3 → x = ¾

x = 0 → y = 0

x = ¾ → y = (¾)4 – (¾)3 = 81/256 – 27/64 = 81/256 – 108/256 = –27/256

Jadi, titik ekstrimnya: (0, 0), (3/4, –27/256)

Sketsa:

Jika x = 1 → y’ = 4(1)3 – 3(1)2 = 4 – 3 = 1 (positif)

Jadi, daerah di sebelah kanan ¾ bertanda positif, antara 0 hingga ¾ bertanda negatif, dan di sebelah kiri 0 tandanya tetap negatif karena 0 merupakan batas rangkap.

grafik_poli_05

Gambar Fungsi:

grafik_poli_06

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , | Leave a comment

Menggambar Grafik (IV) – Lingkaran, Elips, Hiperbola

Pada bagian ini akan dibahas mengenai cara menggambar grafik untuk persamaan yang mengandung pangkat tertinggi 2 pada variabel x dan y-nya (Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0)

Untuk A = koefisien x2 dan B = koefisien y2:

  • Jika A = B → grafik berbentuk lingkaran
  • Jika A dan B bertanda sama tetapi A ≠ B → grafik berbentuk elips
  • Jika A dan B berlainan tanda → grafik berbentuk hiperbola

Pertama-tama, ubah persamaan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna:

Lingk01

Setelah itu, nyatakan persamaan ke dalam salah satu bentuk berikut:

Lingk_jpg01

Contoh 1:

2x2 + 2y2 – 4x + 6y – 6 = 0

→ karena A = B (2 = 2) maka grafik persamaan ini akan berbentuk lingkaran.

Lingk02

diperoleh pusat lingkaran (1, 3/2) dan jari-jarinya 5/2, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:

Lingk_jpg02

Contoh 2:

4x2 + 9y2 – 40x – 72y + 208 = 0

→ karena A dan B bertanda sama (sama-sama positif) tapi A ≠ B (4 dan 9), maka grafik persamaan ini berbentuk elips.

Lingk03

diperoleh pusat elips (5, 4), panjang sumbu horizontal 6 dan sumbu vertikal 4, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:

Lingk_jpg03

Contoh 3:

16x2 + y2 – 32x + 6y + 9 = 0

→ karena A dan B bertanda sama, tetapi A ≠ B (1 dan 16), maka grafik persamaan tersebut berbentuk elips.

Lingk04

diperoleh elips dengan pusat (1, –3) dengan panjang sumbu horizontal 2 dan panjang sumbu vertikal 8, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:

Lingk_jpg04

Contoh 4:

25x2 – 4y2 + 50x + 16y +141 = 0

→ karena A dan B berlainan tanda (25 dan –4), maka grafik persamaan ini berbentuk hiperbola.

Lingk05

diperoleh hiperbola vertikal dengan pusat (–1 , 2) dengan asimtot y = ±5/2 (x + 1)  + 2, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:

Lingk_jpg05

Contoh 5:

–25x2 + 9y2 + 150x + 36y + 36 = 0

→ karena A dan B berlainan tanda (–25 dan 9), maka grafik persamaan tersebut berbentuk hiperbola.

Lingk06

diperoleh hiperbola horizontal dengan pusat (3, –2) dengan asimtot y = ±5/3(x – 3) – 2, sehingga gambarnya sebagai berikut:

Lingk_jpg06

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , , | Leave a comment

Menggambar Grafik (III) – Parabola (Fungsi Kuadrat)

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertingginya 2. Pangkat tertinggi ini dimiliki oleh salah satu variabel: x saja atau y saja.

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Pada bagian ini akan dibahas mengenai cara menggambar cepat untuk grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dan x = ay2 + by + c.

 

Grafik Fungsi y = ax2 + bx + c

Jika fungsi kuadrat berbentuk y = ax2 + bx + c maka grafik itu akan membuka ke atas atau ke bawah.

  • Untuk a > 0 grafik membuka ke atas  GrafikFKAtas
  • Untuk a < 0 grafik membuka ke bawah  GrafikFKBawah

Cara menggambarnya:

  • Jika fungsi tersebut dapat difaktorkan, faktorkan untuk mencari titik potong dengan sumbu X (y = 0).
  • Jika tidak dapat difaktorkan, cari turunannya untuk memperoleh titik puncaknya (y’ = 0).

Agar gambar lebih akurat, dapat dicari titik potong dengan sumbu Y (x = 0) dan titik-titik bantu lain.

Contoh:

y = x2 – 3x + 2

  • dapat difaktorkan: y = (x – 2)(x – 1) → jika y = 0, diperoleh x = 2 atau x = 1
  • Grafik membuka ke atas karena a = 1

GrafikFK01

y = –x2 + 2x –1

  • dapat difaktorkan: y = –(x2 – 2x + 1) = –(x – 1)(x – 1) → jika y = 0, diperoleh x = 1
  • Grafik membuka ke bawah karena a = –1

GrafikFK02

y = 2x2 – 8x + 17

  • tidak dapat difaktorkan → dicari turunannya: y’ = 4x – 8 → jika y’ = 0 diperoleh x = 2
  • untuk x = 4 → y = 2(2)2 – 8(2) + 17 = 11 → jadi titik puncaknya (2, 11)
  • Grafik membuka ke atas karena a = 2

GrafikFK03

y = -2x2 – 5x – 2

  • dapat difaktorkan: y = –(2x2 + 5x + 2) = –(2x + 1)(x + 1) → jika y = 0 diperoleh x = –1/2 atau x = –1
  • Grafik membuka ke bawah karena a = –2

GrafikFK04

y = x2 + 5

  • tidak dapat difaktorkan → dicari turunannya: y’ = 2x → jika y’ = 0 diperoleh x = 0
  • untuk x = 0 → y = (0)2 + 5 = 5 → jadi titik puncaknya (0, 5)
  • Grafik membuka ke atas karena a = 1

GrafikFK05

 

Grafik Fungsi x = ay2 + by + c

Jika fungsi kuadrat berbentuk x = ay2 + by + c maka grafik itu akan membuka ke kanan atau ke kiri.

  • Untuk a > 0 grafik membuka ke kanan  GrafikFKKanan
  • Untuk a < 0 grafik membuka ke kiri  GrafikFKKiri

Cara menggambarnya:

  • Jika fungsi tersebut dapat difaktorkan, faktorkan untuk mencari titik potong dengan sumbu Y (x = 0).
  • Jika tidak dapat difaktorkan, cari turunannya untuk memperoleh titik puncaknya (x’ = 0).

Agar gambar lebih akurat, dapat dicari titik potong dengan sumbu X (y = 0) dan titik-titik bantu lain.

Contoh:

x = (y – 1)2

  • dapat difaktorkan (sudah berbentuk pemfaktoran) → jika x = 0 diperoleh y = 1
  • Grafik membuka ke kanan karena a = 1

GrafikFK06

x = –y2 – 5y

  • dapat difaktorkan: x = –y(y – 5) → jika x = 0 diperoleh y = 0 atau y = 5
  • Grafik membuka ke kiri karena a = –1

GrafikFK07

x = 3y2 – 8

  • tidak dapat difaktorkan → cari turunannya: x’ = 6y → jika x’ = 0 diperoleh y = 0
  • untuk y = 0 → x =3(0)2 – 8 = –8 → Jadi titik puncaknya (–8, 0)
  • Grafik membuka ke kanan karena a = 3

GrafikFK08

x = –3y2 – 3y + 1

  • tidak dapat difaktorkan → cari turunannya: x‘ = –6y – 3 → jika x’ = 0 diperoleh y = –1/2
  • untuk y = –1/2 → x = –3(–1/2)2 – 3(–1/2) + 1 = 7/4 → jadi titik puncaknya (7/4, –1/2)
  • Grafik membuka ke kiri karena a = –3

GrafikFK09

 

Posted in Matematika (Indonesia) | Tagged , , , | Leave a comment