Integral (VII) – Dalil Guldin I


Pada topik aplikasi integral sebelumnya, dibahas mengenai aplikasi integral untuk mencari letak titik berat suatu luasan.

guldin1_01Secara singkat, titik berat suatu bidang datar homogen yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, dan garis x = a dan x = b dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

guldin1form_01Sedangkan jika bidang datar tersebut dibatasi oleh kurva y1 = f1(x), y2 = f2(x), garis x = a, dan x = b,

guldin1_02titik beratnya dapat dicari dengan:

guldin1form_02Dalil Guldin I menyatakan:

Jika suatu luasan bidang datar diputar penuh pada garis/sumbu yang sebidang dengan luasan itu dan tidak memotong luasan itu, maka volume benda putar yang terjadi (V) sama dengan luas dataran itu (L) dikalikan dengan lintasan titik beratnya (2πyp).

guldin1form_03

guldin1_03Jadi, Dalil Guldin I dapat digunakan untuk mencari volume suatu benda putar dengan mudah jika sumbu putarnya miring.

guldin1_04Jika sumbu putarnya miring, yp dapat dicari dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis, sehingga yp adalah jarak titik berat ke garis yang menjadi sumbu putar. Misalkan titik berat bidang homogen adalah (p, q) dan sumbu putarnya adalah garis ax + by + c = 0, maka:

guldin1form_04Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada contoh-contoh berikut ini:

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = x

Gambar:

guldin1_05 Perpotongan:

x2 = x

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

x = 0 → y = 0 → (0, 0)

x = 1 → y = 1 → (1, 1)

Cara biasa:

Garis y = x memiliki gradien sebesar 1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = 1 dan α = 45°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu x, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_06Persamaan kurva dan garis setelah dirotasi 45° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) adalah:

guldin1form_05

Sehingga persamaan kurva dan garisnya berubah menjadi:

guldin1form_06

Setelah itu, volume benda putar yang terjadi dapat dicari dengan menggunakan metode cakram:

guldin1form_07

Dengan Dalil Guldin I:

guldin1_07Pertama-tama, dihitung luas bidang:

guldin1form_08

Setelah itu dihitung koordinat titik berat bidang:

guldin1form_09

Setelah itu hitung yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = x atau x – y = 0

guldin1form_10

Dalil Guldin I:

guldin1form_11

 

Contoh 2:

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis y = –x

Gambar:

guldin1_08Cara Biasa:

Garis y = –x memiliki gradien sebesar –1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = –1 dan α = 135°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu y, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

guldin1_09Setelah dirotasi, persamaan kurva yang dihasilkan sama dengan persamaan pada contoh 1, sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan dengan metode cincin silinder sebagai berikut:

guldin1form_12

Dengan Dalil Guldin I:

Titik berat bidang dan luasannya sama dengan yang diperoleh pada contoh 1 (titik berat (1/2, 2/5), luas = 1/6), sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan yp, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = –x atau x + y = 0

guldin1_10guldin1form_13

Dalil Guldin I:

guldin1form_14

 

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , , , . Bookmark the permalink.

10 Responses to Integral (VII) – Dalil Guldin I

  1. febi says:

    tolong beritahu buku referensinya mbak

  2. halo kak. .
    makasih jawabannya ya kak sudah membantu.
    saya mau tanya lagi:
    Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu x, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.
    dari pernyataan diatas kalo sumbu putarnya jadi sumbu y apa bisa. terus apa rumusnya seperti rumus perputaran pada sumbu y biasa.

    terima kasih kak, mohon bantuaanya lagi ya

  3. grace says:

    Ohh gitu ya kak. .
    Kalo boleh tau dalil guldin II itu membahas tentang apa ?
    Terimakasih🙂

  4. grace says:

    Haloo. .kak , mau tanya. .
    Kalau ada soal seperti ini “misal diketahui trapesium sama kaki ABCD dgn A=(0,0) B=(10,0) dan C=(7,3) carilah
    a. Luasnya !
    b. Jika diputar dgn sumbu x berapa volumenya ?
    Terimakasih mohon bantuannya🙂

    • alicealc says:

      Tentukan titik D nya dulu,
      Tentukan persamaan garis yang melalui AD, yang melalui DC, dan yang melalui CB,
      Hitung luas dan volumenya dengan integral.
      Integralnya terpisah, untuk batas AD, batas DC, dan batas CB, kemudian dijumlahkan.
      Semoga membantu🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s