Menggambar Grafik (V) – Fungsi Polinomial


Fungsi polinomial di sini adalah fungsi dalam bentuk y = axn + bxn–1 + …  dengan n > 2

Untuk menggambar grafik fungsi polinomial dibutuhkan pemahaman terlebih dahulu mengenai turunan atau diferensial, yang dapat dibaca di sini.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi polinomial:

  1. Menentukan titik potong dengan sumbu-x (y = 0)
  2. Menentukan titik potong dengan sumbu-y (x = 0)
  3. Menentukan titik ekstrim dengan cara turunan (y’ = 0)

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh gambar grafik fungsi polinomial.

 

Contoh 1:

Gambarlah grafik fungsi y = x4 – 4x2 – 5!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

x4 – 4x2 – 5 = 0

(x2 – 5)(x2 + 1) = 0

x2 – 5 = 0 atau x2 + 1 = 0

x2 = 5 atau x2 = –1

karena x2 = –1 tidak memenuhi untuk x bilangan Real, maka yang digunakan x2 = 5 → x = ±√5

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (√5, 0) dan (–√5, 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 04 – 4(0)2 – 5 = –5

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, –5)

Titik ekstrim (y’ = 0)

y’ = 0

4x3 – 8x = 0

4x(x2 – 2) = 0

4x = 0 atau x2 – 2 = 0

x = 0 atau x = ±√2

Untuk x = 0 → y = 04 – 4(0)2 – 5 = –5

Untuk x = –√2 → y = (–√2)4 – 4(–√2)2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Untuk x = √2 → y = (√2)4 – 4(√2)2 – 5 = 4 – 4(2) – 5 = –9

Jadi, titik-titik ekstrimnya: (0,  –5), (–√2, –9), (√2, –9)

Sketsa:

Jika x = 1 → y’ = 4(1)3 – 8(1) = –4 (negatif)

Tanda positif dan negatif berselang-seling. Karena x = 1 hasilnya negatif, maka antara 0 dan √2 diberi tanda negatif, antara –√2 dan 0 diberi tanda positif, di sebelah kiri –√2 diberi tanda negatif, dan di sebelah kanan √2 diberi tanda positif.

Jika bertanda negatif, gambar garis turun, jika bertanda positif, gambar garis naik.

grafik_poli_01

Gambar Fungsi:

grafik_poli_02

 

Contoh 2:

Gambarlah grafik fungsi y = 5x3 – 3x5!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

5x3 – 3x5 = 0

x3(5 – 3x2) = 0

x3 = 0 atau 5 – 3x2 = 0

x = 0 atau 3x2 = 5

x = 0 atau x = ±√(5/3)

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (0, 0), (–√(5/3), 0), (√(5/3), 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 5(0)3 – 3(0)5 = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, 0)

Titik ekstrim (y’ = 0):

y’ = 0

15x2 – 15x4 = 0

15x2(1 – x2) = 0

15x2 = 0 atau 1 – x2 = 0

Untuk 15x2 = 0 → x = ±0 (batas rangkap untuk x = 0)

Untuk 1 – x2 = 0

x2 = 1 → x = ±√1 = ± 1

x = 0 → y = 0

x = –1 → y = 5(–1)3 – 3(–1)5 = –5 + 3 = –2

x = 1 → y = 5(1)3 – 3(1)5 = 5 – 3 = 2

Jadi, titik-titik ekstrimnya: (0, 0), (–1, –2), (1, 2)

Sketsa:

Jika x = 10 → y’ = 15(10)2 – 15(10)4 = 1500 – 1500000 → hasilnya negatif

Karena 0 merupakan batas rangkap, maka tidak merubah tanda. Karena untuk x = 0 hasilnya negatif, di sebelah kanan 1 diberi tanda negatif, antara 0 dan 1 diberi tanda positif, antara –1 dan 0 tandanya tetap positif, dan di sebelah kiri –1 diberi tanda negatif.

grafik_poli_03

Gambar Fungsi:

grafik_poli_04

 

Contoh 3:

Gambarlah grafik fungsi y = x4 – x3!

Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):

x4 –x3 = 0

x3(x – 1) = 0

x = 0 atau x – 1 = 0

x = 0 atau x = 1

Jadi, titik potong dengan sumbu-x: (0, 0), (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-y (x = 0):

y = 04 – 03 = 0

Jadi, titik potong dengan sumbu-y: (0, 0)

Titik ekstrim (y’ = 0):

y’ = 0

4x3 – 3x2 = 0

x2(4x – 3) = 0

x2 = 0 atau 4x – 3 = 0

x = ±0 (batas rangkap) atau 4x = 3 → x = ¾

x = 0 → y = 0

x = ¾ → y = (¾)4 – (¾)3 = 81/256 – 27/64 = 81/256 – 108/256 = –27/256

Jadi, titik ekstrimnya: (0, 0), (3/4, –27/256)

Sketsa:

Jika x = 1 → y’ = 4(1)3 – 3(1)2 = 4 – 3 = 1 (positif)

Jadi, daerah di sebelah kanan ¾ bertanda positif, antara 0 hingga ¾ bertanda negatif, dan di sebelah kiri 0 tandanya tetap negatif karena 0 merupakan batas rangkap.

grafik_poli_05

Gambar Fungsi:

grafik_poli_06

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Menggambar Grafik (V) – Fungsi Polinomial

  1. oh saera says:

    Mba saya mau nanya yang mencari titik ekstrim itu kaya mana mba saya masih kurang mengerti,saya pakai contoh punya mba yg ketiga masih belum ngerti juga saya titik ekstrim nya muncul dari mana😌 tolong ajarin saya mba kalau ga keberatan:D

    • alicealc says:

      Titik ekstrimnya dicari menggunakan turunan/diferensial.
      Untuk mencari titik ekstrim fungsi y dalam x, gunakan y’ = 0 (y’ adalah turunan y terhadap x)
      Untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya bisa menggunakan sketsa garis bilangan untuk y’. Jika y’ positif berarti fungsi naik, jika y’ negatif berarti fungsi turun.
      Semoga membantu🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s