Fungsi


Pengertian

Pasangan terurut

Contoh:

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}

Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:

{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

 

Relasi

Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}

Jika ada relasi R dari  A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:

R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}

Diagram panahnya:

 

Fungsi

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B

Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B

A disebut domain (daerah asal)

B disebut kodomain (daerah kawan)

Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)

Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)

dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:

Domain = Df = {1, 2, 3, 4}

Range = Rf = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.

1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:

Daerah asal untuk fungsi

adalah:

x2 + 3x – 4 > 0

(x + 4)(x – 1) > 0

Pembuat nol: x = –4 dan x = 1

Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

  1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
  3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

Daerah asalnya:

Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg)

Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:

f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)

(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)

Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

1. Tidak bersifat komutatif

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

 

Contoh 1:

f(x) = 3x + 2

g(x) = 2x + 5

h(x) = x2 – 1

Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)

=  3(2x + 5) + 2

= 6x + 15 + 2 = 6x + 17

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)

= 2(3x + 2) + 5

= 6x + 4 + 5 = 6x + 9

(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))

= f(2(x2 – 1) + 5)

= f(2x2 – 2 + 5)

= f(2x2 + 3)

= 3(2x2 + 3) + 2

= 6x2 + 9 + 2 = 6x2 + 11

atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,

(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)

= 6(x2 – 1) + 17

= 6x2 – 6 + 17

= 6x2 + 11

 

Contoh 2:

f(x) = 3x + 2

(f o g)(x) = 6x + 17

Cari g(x)!

(f (g(x)) = 6x + 17

3.g(x) + 2 = 6x + 17

3.g(x) = 6x + 17 – 2

3.g(x) = 6x + 15

g(x) = 2x + 5

 

Contoh 3:

g(x) = 2x + 5

(f o g)(x) = 6x + 17

Cari f(x)!

f(2x + 5) = 6x + 17

misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5

f(a) = 3(a – 5) + 17

f(a) = 3a – 15 + 17

f(a) = 3a + 2

f(x) = 3x + 2

 

Contoh 4:

f(x) = x2 + 2x + 5

(f o g)(x) = 4x2 – 8x + 8

Cari g(x)!

f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8

(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8

Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna

(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4x2 – 8x + 8

(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 8 – 4

(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 4

(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2

g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)

g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

atau

f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8

(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8

Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan  g(x) = ax + b

(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4x2 – 8x + 8

a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4x2 – 8x + 8

a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4x2 – 8x + 8

Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:

a2 = 4 → a = 2 atau a = –2

samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:

untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8

4b + 4 = –8

4b = –12 → b = –3

untuk a = –2  → 2ab + 2a = –8

–4b + 4 = –8

–4b = –12 → b = 3

Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

 

Invers Fungsi

Notasi

Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f–1 (x)

 

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f–1(1) =2

Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Invers Fungsi:

  1. (f–1)–1(x) = f(x)
  2. (f o f–1)(x) = (f–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
  3. (f o g)–1(x) = (g–1 o f–1)(x)

Ingat: (f o g–1)(x) ¹ (f o g)–1(x)

 

Mencari invers fungsi

  1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
  2. Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f–1(y)
  3. Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f

Contoh 1:

f(x) = 3x – 2

invers fungsinya:

 

Contoh 2:

Cara Cepat!

 

Contoh 3:

f(x) = x2 – 3x + 4

Invers fungsinya

 

Contoh 4:

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Fungsi

  1. jan purwanto says:

    trima kasih ya,,
    memang membantu apalagi baru kenal materinya

  2. bella says:

    Kak,kalo soal aku kaya gini
    “f:2x-4->x€{0,1,2,3,4}”
    A.susunlah tabel fungsi f !
    B.gambarlah grafik fungsi tersebut ! gimana kak?

    • alicealc says:

      Buat tabel untuk x dan y nya, masukkan nilai x=0 hingga x=4 ke dalam fungsinya untuk mendapat nilai y, lalu gambar tiap koordinat (x, y) ke dalam koordinat Cartesius. Gambar grafik fungsinya hanya berupa 5 titik.
      Semoga membantu🙂

  3. Rizki azhari says:

    kak,klo soalnya kyak gini ..gimana??
    tuliskan fungsi dari f(x)=4x-2
    jika di ket:
    a.Df {-2,-1,0,1,2}
    b.Df{x1-2<_x<2}
    c.Df{x1x£R}

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s