Integral (VII) – Dalil Guldin I

Pada topik aplikasi integral sebelumnya, dibahas mengenai aplikasi integral untuk mencari letak titik berat suatu luasan.

Secara singkat, titik berat suatu bidang datar homogen yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, dan garis x = a dan x = b dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Sedangkan jika bidang datar tersebut dibatasi oleh kurva y₁ = f₁(x), y₂ = f₂(x), garis x = a, dan x = b,

titik beratnya dapat dicari dengan:

Dalil Guldin I menyatakan:

Jika suatu luasan bidang datar diputar penuh pada garis/sumbu yang sebidang dengan luasan itu dan tidak memotong luasan itu, maka volume benda putar yang terjadi (V) sama dengan luas dataran itu (L) dikalikan dengan lintasan titik beratnya (2πy_p).

Jadi, Dalil Guldin I dapat digunakan untuk mencari volume suatu benda putar dengan mudah jika sumbu putarnya miring.

Jika sumbu putarnya miring, y_p dapat dicari dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis, sehingga y_p adalah jarak titik berat ke garis yang menjadi sumbu putar. Misalkan titik berat bidang homogen adalah (p, q) dan sumbu putarnya adalah garis ax + by + c = 0, maka:

Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada contoh-contoh berikut ini:

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi garis y = x

Gambar:

Perpotongan:

x² = x

x² – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

x = 0 → y = 0 → (0, 0)

x = 1 → y = 1 → (1, 1)

Cara biasa:

Garis y = x memiliki gradien sebesar 1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = 1 dan α = 45°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu x, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

Persamaan kurva dan garis setelah dirotasi 45° searah jarum jam dengan pusat (0, 0) adalah:

Sehingga persamaan kurva dan garisnya berubah menjadi:

Setelah itu, volume benda putar yang terjadi dapat dicari dengan menggunakan metode cakram:

Dengan Dalil Guldin I:

Pertama-tama, dihitung luas bidang:

Setelah itu dihitung koordinat titik berat bidang:

Setelah itu hitung y_p, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = x atau x – y = 0

Dalil Guldin I:

 

Contoh 2:

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x diputar mengelilingi garis y = –x

Gambar:

Cara Biasa:

Garis y = –x memiliki gradien sebesar –1. Garis ini membentuk sudut sebesar α dengan sumbu x-positif, di mana tan α = gradien garis, sehingga diperoleh tan α = –1 dan α = 135°.

Karena itu, kurva dan garis harus diputar sebesar 45° searah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0), agar sumbu putarnya menjadi sumbu y, sehingga dapat digunakan cara penghitungan volume benda putar yang biasa.

Gambar yang diperoleh setelah rotasi adalah:

Setelah dirotasi, persamaan kurva yang dihasilkan sama dengan persamaan pada contoh 1, sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan dengan metode cincin silinder sebagai berikut:

Dengan Dalil Guldin I:

Titik berat bidang dan luasannya sama dengan yang diperoleh pada contoh 1 (titik berat (1/2, 2/5), luas = 1/6), sehingga dapat langsung dilakukan penghitungan y_p, jarak titik berat (1/2, 2/5) ke garis y = –x atau x + y = 0

Dalil Guldin I: