Transformasi Geometri


Ilustrasi

trans_illus

 

Pergeseran/Translasi

trans_translasi

Pada gambar di atas, segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

trans_01

Rumus:

trans_02

  • a menyatakan pergeseran horizontal (ke kanan +, ke kiri –)
  • b menyatakan pergeseran vertikal ( ke atas +, ke kiri –)

 

Pencerminan/Refleksi

trans_refleksi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

  • terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
  • terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
  • terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

trans_refleksi2

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

  • terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
  • terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

trans_refleksi3

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

  • terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
  • terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Rumus:

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

trans_03

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

trans_04

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

trans_05

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

trans_06

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Jika m = tan θ maka:

trans_07

trans_08

Perputaran/Rotasi

trans_rotasi

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

  • +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
  • +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
  • +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Rumus:

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

trans_09

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

trans_10

 

Penskalaan/Dilatasi

trans_dilatasi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

  • dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
  • dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.

Rumus:

Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

trans_11

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

trans_12

Gusuran/Shearing

trans_shearing

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) digusur:

  • menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6)
  • menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)

Pengaruh nilai k:

  • untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
  • untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:

Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k

trans_13

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k

trans_14

 

Regangan/Stretching

trans_stretching

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

  • searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
  • searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)

Pengaruh nilai k:

  • untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
  • untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:

Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

trans_15

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

trans_16

 

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

trans_17

 

Komposisi Transformasi

→ adalah gabungan dari beberapa transformasi

→ T1 dilanjutkan oleh T2 ditulis: T2 o T1

trans_18

Komposisi khusus:

1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar:

trans_19

trans_20

trans_21

trans_222. Dua pencerminan yang berurutan terhadap 2 sumbu yang tegak lurus ekivalen dengan rotasi 180° yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu

3. Dua pencerminan terhadap 2 sumbu yang berpotongan ekivalen dengan rotasi dengan titik pusat titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu

4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekivalen dengan rotasi dengan pusat tersebut sejauh jumlah sudut keduanya

 

Luas Hasil Transformasi

Transformasi berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

trans_23

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya:

trans_24

 

Mencari Persamaan Hasil Transformasi

Contoh:

Tentukan persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)

Cara 1: cara langsung

trans_25

Cara 2: dengan matriks

trans_26

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

19 Responses to Transformasi Geometri

  1. gabz says:

    Nice.. thanks for the information🙂

  2. Dimas says:

    thanks alice you really help me to do my task from school

  3. Dimas says:

    alice bikin gambar grafiknya itu pake aplikasi apa?

  4. Elys says:

    sangat membantu ..terimakasih🙂

  5. ade says:

    ada soal. tentukan pencerminan yang mungkin dari y=x^3 terhadap sumbu x, y, y=x, y=-x dan o(0,0) itu caranya gmana ya

    • alicealc says:

      Contoh, untuk pencerminan terhadap sumbu-x: (x, y) menjadi (x, -y), sehingga
      x’ = x dan y’ = -y
      sehingga x = x’ dan y = -y’
      jadi y = x^3 menjadi -y’ = (x’)^3
      hilangkan tanda ‘, sehingga menjadi:
      -y = x^3
      Untuk yang lain, caranya mirip, sesuaikan saja dengan aturan pencerminannya.
      Semoga membantu🙂

      • ade says:

        trimakasih….🙂
        kalo yg persamaan x^2+y^2+r^2 ; r>0 soalnya sama kaya diatas kak..soalnya ane masih blm terlalu paham..thanks

      • alicealc says:

        Sama saja, persamaan apapun aturannya tetap sama. Misalnya, kalau pencerminan terhadap sumbu-x seperti cara di atas, x = x’ dan y = -y’, Sehingga untuk persamaan x^2 + y^2 + r^2, bayangannya adalah x’^2 +(-y’)^2 + r^2.
        Hilangkan tanda ‘ sehingga persamaan bayangannya adalah x^2 + y^2 + r^2
        Semoga membantu🙂

      • ade says:

        trimakasih kakak……jadi intinya semua persamaan diatas jika di refleksikan dengan sumbu dan garis diatas pasti mempunyai bayangan ya? atau ada yg tidak bisa direfleksikan?

      • alicealc says:

        Kalau hasil persamaan bayangannya sama dengan persamaan kurva semula, berarti kurva itu tidak dapat direfleksikan terhadap garis atau titik yang diminta, karena hasilnya sama saja.
        Misal, untuk persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r: x^2 + y^2 = r^2, jika dicerminkan terhadap sumbu-x, sumbu-y, (0, 0), garis y=x atau garis y = -x, hasilnya akan sama saja x^2 + y^2 = r^2
        Semoga membantu🙂

      • ade says:

        trimakasih bnyk kak…sangat membantu🙂

  6. ade says:

    kak ada pin kah?biar enak kalo tanya2..hihihihi😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s