Matriks


Definisi

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom

Ordo matriks: ukuran baris dan kolom matriks

aij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i, kolom ke-j

Contoh:

Matriks_Picture1

Matriks diatas dapat dinyatakan dalam notasi matriks A2×3

2×3 adalah ordo matriks yang artinya matriks itu mempunyai 2 baris dan 3 kolom.

a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 1, a22 = 4, a23 = 0

 

Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris → matriks yang hanya terdiri dari 1 baris

Contoh: (1   3   5   -2)

2. Matriks Kolom → matriks yang hanya terdiri dari 1 kolom

Contoh:

Matriks_Picture2

3. Matriks persegi → matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

Contoh:

Matriks_01

4. Matriks identitas → matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya 0

Contoh:

Matriks_Picture3

5. Matriks nol → matriks yang semua elemennya 0

Contoh:

Matriks_Picture4

6. Matriks segitiga atas → matriks persegi yang memiliki elemen 0 pada baris ke-i, kolom ke-j jika i > j, dan memiliki elemen bukan 0 pada tempat lainnya

Contoh:

Matriks_Picture5

7. Matriks segitiga bawah → matriks persegi yang memiliki elemen 0 pada baris ke-i, kolom ke-j jika i < j, dan memiliki elemen bukan 0 pada tempat lainnya

Contoh:

Matriks_Picture6

8. Matriks diagonal → matriks persegi yang elemen-elemennya 0, kecuali elemen-elemen pada diagonal utama

Contoh:

Matriks_Picture7

 

Operasi Matriks

1. Transpose Matriks

Menukar baris dan kolom pada suatu matriks menjadi kolom dan baris

Contoh:

Matriks_Picture8

 

2. Penjumlahan matriks

2 matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama.

Elemen-elemen yang seletak dijumlahkan.

Contoh:

Matriks_Picture9

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

  • Komutatif: A + B = B + A
  • Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Mempunyai elemen identitas, yaitu matriks nol: A + 0 = 0 + A = A

 

3. Pengurangan matriks

2 matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama.

Elemen-elemen yang seletak dikurangkan.

Contoh:

Matriks_Picture10

Sifat-sifat penjumlahan matriks tidak berlaku pada pengurangan matriks

 

4. Perkalian matriks dengan skalar

k.A berarti mengalikan setiap elemen matriks A dengan k

Contoh:

Matriks_Picture11

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:

  • k.A ± m.A = (k ± m).A
  • k.A ± k.B = k.(A ± B) [matriks A dan B mempunyai ordo yang sama]
  • k.(m.A) = (k.m).A
  • k.A.B = (k.A).B = A.(k.B)

 

5. Perkalian antara dua matriks (A × B)

Operasi ini hanya dapat dilakukan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Elemen-elemen pada setiap baris di matriks A dikalikan dengan elemen-elemen pada setiap kolom di matriks B.

Matriks_02

Sifat-sifat perkalian antara dua matriks:

  • AB ≠ BA (tidak komutatif)
  • (AB)C = A(BC) (asosiatif)
  • A(B ± C) = AB ± AC (distributif)
  • A. I = I. A = A (A adalah matriks persegi, mempunyai elemen identitas pada perkalian, yaitu matriks identitas I)
  • pA.qB = (p.q)(A.B)
  • (AB)T = BT . AT
  • A2 = A.A, A3 = A.A.A, … dan seterusnya (A adalah matriks persegi)

 

6. Invers Matriks

Matriks persegi A memiliki invers matriks A–1, di mana A × A–1 = A–1 × A = I

2 matriks A dan B dikatakan saling invers jika A × B = B × A = I

Cara mencari invers matriks dengan rumus:

Matriks_Picture12

|A| adalah determinan matriks A

Jika |A| = 0, maka matriks A tidak memiliki invers dan disebut sebagai matriks singular.

 

  • Invers matriks 2 × 2

Matriks_03

 

  • Invers matriks 3 × 3

Determinan matriks 3 × 3 dapat dicari dengan 2 cara:

1. Ekspansi Laplace

Matriks_04

2. Cara Sarrus

Matriks_05

Minor dan kofaktor:

Minor aij atau |mij|adalah determinan matriks A yang diperoleh dengan menghapus elemen-elemen pada baris ke-i kolom ke-j

Contoh:

Matriks_06

Kofaktor aij dirumuskan sebagai:

Matriks_Picture13

Matriks kofaktor:

Matriks_Picture14

Adjoin matriks 3 × 3 adalah transpose dari matriks kofaktornya

 

  • Cara mencari invers matriks dengan Operasi Baris Elementer/Metode Kounter

Matriks A digabung dengan matriks identitas I sehingga membentuk A|I, lalu dilakukan operasi baris elementer untuk membuat matriks gabungan itu menjadi I|A–1.

Operasi baris elementer meliputi:

  1. Mengalikan suatu baris dengan angka yang bukan nol
  2. Menukar suatu baris dengan baris lain
  3. Menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Baris pertama kolom pertama dijadikan angka 1 (dilakukan dengan mengalikan baris pertama ini dengan angka bukan nol atau menukar baris pertama dengan baris lain yang angka di kolom pertamanya = 1)
  2. Baris kedua dan seterusnya (pada kolom yang sama) dijadikan nol (dilakukan dengan menambah kelipatan baris pertama pada baris ini)
  3. Baris kedua kolom kedua dijadikan angka 1 (cara seperti nomor 1 di atas)
  4. Baris lain pada kolom kedua dijadikan nol (dilakukan dengan menambah kelipatan baris kedua pada baris lain)
  5. dan seterusnya hingga terbentuk matriks I|A–1

Contoh 1: mencari invers matriks 2 × 2

Matriks_Picture15

Contoh 2: mencari invers matriks 3 × 3

Matriks_Picture16

Matriks_Picture17

Sifat-sifat operasi invers:

  • (A–1) –1 = A
  • (AT) –1 = (A–1)T
  • (AB) –1 = B–1 . A–1

Operasi invers ini dapat digunakan untuk mencari suatu matriks X, dimana:

→ Jika A.X = B, maka X = A–1.B

(Jika A ada di sebelah kiri X maka invers A ada di sebelah kiri B)

→ Jika X.A = B, maka X = B.A–1

(Jika A ada di sebelah kanan X maka invers A ada di sebelah kanan B)

→ Jika A.X.B = C, maka X = A–1.C.B–1

 

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Sistem persamaan linear:

ax + by = e

cx + dy = f

dapat ditulis dalam bentuk matriks:

Matriks_Picture18

Demikian pula jika terdapat sistem persamaan:

ax + by + cz = k

dx + ey +fz = l

gx + hy + iz = m

dapat ditulis dalam bentuk:

Matriks_Picture19

Untuk menyelesaikannya dengan cara matriks dapat digunakan dua cara:

1. Cara invers matriks

2. Metode Cramer/cara determinan

Matriks_07

Contoh:

Untuk sistem persamaan:

2x – y = –14

3x + 4y = 1

Penyelesaiannya adalah:

Matriks_Picture20

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s