Suku Banyak/Polinomial


Bentuk Umum:

an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0

n = derajat suku banyak

a0 = konstanta

an, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …

 

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

F(x) = suku banyak

P(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa

 

Teorema Sisa:

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)

Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1

Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n

 

Cara Pembagian Suku Banyak

Contoh:

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1

1. Pembagian biasa

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

 

2. Cara Horner/Skema

bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

  • Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

  • Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
  • Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

dan seterusnya

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P1: 2x + 1 = 0 → x = –½

P2: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

 

3. Cara koefisien tak tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:

2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan:

= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d

= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

 

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Tips:

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0.

Misalnya:

untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1

3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

 

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

  • Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
  • Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
  • Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

  • Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
  • Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
  • Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
  • Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

 

Pembagian Istimewa

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , , . Bookmark the permalink.

One Response to Suku Banyak/Polinomial

  1. Pingback: Sticky Post | Learn with Alice

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s