Sistem Persamaan (Linear dan Kuadrat)


Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

→ mengandung 2 variabel berpangkat 1

Bentuk umum:

dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real

Catatan:

ralat_05122013

Penyelesaian:

  1. Metode grafik
  2. Metode substitusi
  3. Metode eliminasi
  4. Metode gabungan substitusi-eliminasi

Contoh:

Metode grafik:

→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua

→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0

Metode substitusi:

Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y

Masukkan ke persamaan 2:

x + 2y = 14

x + 2.(2x – 8 ) = 14

x + 4x – 16 = 14

5x = 14 + 16

5x = 30

x = 30/5 = 6

y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4

Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

Metode eliminasi:

Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)

2x –   y = 8

2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)

–5y = –20

y = –20/–5 = 4

Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)

4x – 2y = 16

  x + 2y = 14   +  (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)

5x = 30

x = 30/5 = 6

Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

Metode gabungan (eliminasi-substitusi)

Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)

2x –   y = 8

2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)

–5y = –20

y = –20/–5 = 4

Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:

2x – y = 8

2x – 4 = 8

2x = 8 + 4

2x = 12

x = 12/2 = 6

Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum:

dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah bilangan real

Penyelesaian:

→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)

Contoh:

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):

2x + 2y + 2z = 12

2x + 3y – 2z =   2  (+)

4x + 5y = 14 …… Persamaan 4

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:

x +   y + z = 6

3x – 2y + z = 2   (–)

–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5

Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):

4x + 5y = 14

–4x + 6y =   8   (+)

11y = 22

y = 22/11 = 2

Masukkan y ke persamaan 5:

–2x + 3y = 4

–2x + 3.2 = 4

–2x + 6 = 4

–2x = 4 – 6

–2x = –2

x = –2/–2 = 1

Masukkan x dan y ke persamaan 1:

x + y + z = 6

1 + 2 + z = 6

z = 6 – 1 – 2 = 3

Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}

 

Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Bentuk Umum:

Penyelesaian:

→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:

mx + n = ax2 + bx + c

ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0

Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)

  • D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
  • D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
  • D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata

→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik

Contoh:

Substitusi persamaan 1 ke 2

2 – x = x2

x2 + x – 2 = 0

(x + 2).(x – 1) = 0

x + 2 = 0 atau x – 1 = 0

x = –2 atau x = 1

untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)

untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1

Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}

Grafik:

→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT

→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV

Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Bentuk umum:

Penyelesaian:

→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian

→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:

ax2 + bx + c = px2 + qx + r

(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0

Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)

  • D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
  • D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
  • D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real

→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik

Contoh 1:

Substitusi persamaan1 ke 2:

x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5

x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0

2x2 + 2 = 0

Semua dibagi 2:

x2 + 1 = 0

Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:

D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4

Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real

Grafik:

→ Cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT

Contoh 2:

Substitusi persamaan 1 ke 2:

x2 – 2x = –1/2 x2 + 4x – 6

Semua dikalikan 2:

2x2 – 4x = –x2 + 8x – 12

2x2 – 4x + x2 – 8x + 12 = 0

3x2 – 12x + 12 = 0

Semua dibagi 3:

x2 – 4x + 4 = 0

(x – 2).(x – 2) = 0

x = 2 → y = x2 – 2x = 22 – 2.2 = 4 – 4 = 0

Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)}

Grafik:

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Sistem Persamaan (Linear dan Kuadrat)

  1. qinniardy says:

    boss bagai mana penyelesaian dari
    2x+y=8
    3x-2y=-2

    • alicealc says:

      cara substitusi: dari persamaan pertama, jadikan y = … lalu dimasukkan ke persamaan kedua
      cara eliminasi: samakan koefisien x atau y dengan cara mengalikan dengan bilangan tertentu, lalu jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan

  2. Bukannya jika a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 itu yg malah mmpunyai banyak penyelesaian? Soalnya kan kedua garis berimpit, dan disetiap garis/titik itu kan adalah penyelesaiannya.
    Sedangkan a1/a2 = b1/b2 tdk sma dengan c1/c2 kan kedua garis tdk berimpit, maka tdk akan ditemukan penyelesaiannya. Trims sebelumnya

  3. novi says:

    splkdv hanya bisa diselesaikan menggunakan subtitusi sama grafik saja ? dengan metode aliminasi bisa tidak ? dengan metode gabungan bisa tidak ?

    • alicealc says:

      Kalau dengan metode eliminasi murni tidak bisa, harus digabung dengan metode substitusi, karena ada salah satu variabel yang berupa bentuk kuadrat.

      Misalnya, jika ada persamaan y = x^2 – 4x dan 2x + 3y = 8, jika diselesaikan menggunakan metode eliminasi:
      x^2 – 4x – y = 0 (x3)
      2x + 3y = 8 (x1)
      —————————-
      3x^2 – 12x – 3y = 0
      2x + 3y = 8
      —————————- (+)
      3x^2 – 10x = 8
      3x^2 – 10 – 8 = 0
      (3x + 2)(x – 4) = 0
      x = -2/3 atau x = 4
      selanjutnya untuk mencari y digunakan metode substitusi:
      x = -2/3 -> y =(-2/3)^2 – 4(-2/3) = 28/9
      x =4 -> y = (4)^2 – 4(4) = 0
      Jadi himpunan penyelesaiannya: {(-2/3, 28/9), (4, 0)}

      • novi says:

        menurut keteranyan dari teman saya , ada yang mengatakan bahwa splkdv bisa diselesaikan dengan eliminasi murni , misal
        y=ax^2+bx+c
        y=px^2+qx+r
        sayaratnya adalah a/p = b/q , apakah bisa ??

      • alicealc says:

        kalau persamaan kuadratnya berbentuk
        y = ax^2 + bx + c dan y = px^2 + qx + r
        dengan syarat a/p = b/q
        bisa menggunakan eliminasi murni

  4. grace says:

    mengapa kalau persamaan kuadratnya berbentuk
    y = ax^2 + bx + c dan y = px^2 + qx + r
    dengan syarat a/p = b/q
    bisa menggunakan eliminasi murni? dan mengapa jika a/p ≠ b/q tidak bisa? makasih sebelumnya…

    • alicealc says:

      Karena jika a/p = b/q variabel x^2 dan x nya bisa dihilangkan secara bersamaan dengan eliminasi murni, sedangkan variabel y-nya tetap ada. Sedangkan jika a/p tidak sama dengan b/q, variabel ^2 dan x nya tidak bisa dihilangkan secara bersamaan.
      Namun jika a/p = 1 dan/atau b/q = 1, eliminasi murni tidak dapat digunakan karena variabel y juga ikut hilang saat mengeliminasi variabel x^2 dan/atau x.

      Contoh:
      y = x^2 + 2x – 5
      y = 2x^2 +4x – 8
      (di sini a = 1, b = 2, p = 2, q = 4 sehingga a/p=b/q)
      dengan eliminasi murni, persamaan pertama dikalikan 2:
      2y = 2x^2 + 4x – 10
      y = 2x^2 + 4x – 8
      ————————– (-)
      y = -2
      jika menghilangkan variabel y:
      y = x^2 + 2x – 5
      y = 2x^2 + 4x – 8
      ————————- (-)
      0 = -x^2 – 2x + 3
      0 = (-x +1)(x + 3)
      x = 1 atau x = -3
      Jadi himpunan penyelesaiannya {(1, -2), (-3, -2)}

      Jika misalnya terdapat persamaan:
      y = x^2 + 2x – 5
      y = 3x^2 + 3x – 4
      di mana a/p tidak sama dengan b/q, variabel x^2 an x tidak dapat dihilangkan secara bersamaan.

      Jika terdapat persamaan:
      y = x^2 – 2x – 3
      y = x^2 – 4x – 5
      Jika menggunakan eliminasi:
      y = x^2 – 2x -3
      y = x^2 – 4x – 5
      ———————-(-)
      0 = 2x + 2
      x = -1
      selanjutnya harus digunakan metode substitusi untuk mencari variabel y.

  5. Devi says:

    bisa berikan contoh soal cerita SPKLDV atau SPK

    • alicealc says:

      Contoh SPLKDV (Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel):
      Diketahui luas persegi panjang dan kelilingnya, ditanyakan ukuran panjang dan lebar persegi panjang itu
      Contoh SPK (Sistem Persamaan Kuadrat):
      Diketahui dua buah persamaan kurva parabola, ditanyakan titik potong antara kedua kurva itu.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s