Fungsi Kuadrat


Bentuk Umum:

y = ax2 + bx + c atau f(x) = ax2 + bx + c dimana a ≠ 0

Gambar Grafik Fungsi Kuadrat:

Bentuknya: parabola

(Ingat! D = b2 – 4.a.c)

Contoh soal:

Tentukan batas-batas nilai m supaya fungsi f(x) = (5m – 4)x2 – 2mx + 1 definit positif

Definit positif: D < 0; a > 0

Syarat 1:

D < 0

b2 – 4.a.c < 0

(–2m)2 – 4.(5m – 4).1 < 0

4m2 – 20m + 16 < 0

semua dibagi 4:

m2 – 5m + 4 < 0

(m – 4).(m – 1) < 0

Pembuat nol:

m – 4 = 0 atau m – 1 = 0

m = 4 atau m = 1

 

Syarat 2:

a > 0

5m – 4 > 0

5m > 4

m > 4/5

 

Garis bilangan:

Jadi himpunan penyelesaiannya:

(m | 1 < m < 4}

Rumus-Rumus yang Berkaitan:

Persamaan sumbu simetri (sumbu simetri: garis yang membagi grafik menjadi 2 bagian yang sama besar):

Nilai maksimum/minimum:

Titik puncak:

Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat:

Langkah-langkah:

  1. Tentukan titik potong dengan sumbu x → y = 0
  2. Tentukan titik potong dengan sumbu y → x = 0
  3. Tentukan titik puncak
  4. Gunakan titik bantu lain jika perlu

Contoh:

Lukis kurva parabola y = –x2 + 4x – 5 dengan domain –2 £ x £ 5 dan tentukan range-nya

Catatan: Domain = daerah asal (x); Range= daerah hasil (y)

→ grafik terbuka ke bawah karena a < 0

  1. Titik potong dengan sumbu x → y = 0

–x2 + 4x – 5 = 0

– (x2 – 4x + 5) = 0

–(x – 5).(x + 1) = 0     (Ingat cara pemfaktoran!)

x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

Jadi titik potong dengan sumbu x: (5, 0) dan (–1, 0)

  1. Titik potong dengan sumbu y → x = 0

y = –02 + 4.0 – 5

y = –5

Jadi titik potong dengan sumbu y: (0, –5)

  1. Titik puncak

Jadi titik puncaknya (2, –1)

  1. Titik bantu

x = –2 → y = –(–2)2 + 4.( –2) – 5 = –4 – 8 – 5 = –17

Salah satu titik bantu: (–2, –17)

  1. Gambar:

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat:

  1. Jika diketahui grafik memotong sumbu x di 2 titik: (x1, 0) dan (x2, 0):

y = f(x) = a.(x – x1).(x – x2)

  1. Jika diketahui grafik memiliki titik puncak di (xp, yp):

y = f(x) = a.(x – xp)2 + yp

            Catatan: menyinggung di satu titik berarti titik puncak = titik singgung

  1. Jika diketahui grafik melalui 3 titik sembarang:

   Gunakan persamaan umum:

y = f(x) = ax2 + bx + c

Contoh 1:

Tentukan persamaan parabola yang memotong sumbu x di (1, 0) dan (5, 0), dan melalui titik (0, 5)!

x1 = 1, x2 = 5

mencari a:

x = 0, y = 5

y = a.(x – x1).(x – x2)

5 = a.(0 – 1).(0 – 5)

5 = a.(–1).(–5)

5 = 5a

a = 5/5 = 1

mencari persamaan:

y = a.(x – x1).(x – x2)

y = 1.(x – 1).(x – 5)

y = x2 – 5x – x + 5

y = x2 – 6x + 5

 

 

Contoh 2:

Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di P(1, –9) dan melalui titik (–2, 0)!

xp = 1, yp = –9

mencari a:

x = –2, y = 0

y = a.(x – xp)2 + yp

0 = a.(–2  – 1)2 + (–9)

9 = a.(–3)2

9 = 9.a

a = 9/9 = 1

mencari persamaan:

y = a.(x – xp)2 + yp

y = 1.(x – 1)2 + (–9)

y = x2 – 2x + 1 – 9

y = x2 – 2x – 8

 

Contoh 3:

Tentukan persamaan parabola yang melalui titik-titik A(2, 7); B(–6, 7); C(1, 0)!

Persamaan umum:

y = ax2 + bx + c

(2, 7) → 7 = a.22 + b.2 + c → 7 = 4a + 2b + c … (Persamaan 1)

(–6, 7) → 7 = a.(–6)2 + b.( –6) + c → 7 = 36a – 6b + c … (Persamaan 2)

(1, 0) → 0 = a.12 + b.1 + c → 0 = a + b + c … (Persamaan 3)

Persamaan (1) dan (2):

7 = 4a   + 2b + c

7 = 36a – 6b + c   –

0 = –32a + 8b

32a = 8b

b = 32a/8 = 4a

Persamaan (1) dan (3):

7 = 4a + 2b + c

0 =   a +   b + c   –

7 = 3a + b

7 = 3a + 4a

7 = 7a

a = 7/7 = 1

b = 4a = 4.1 = 4

a + b + c = 0

1 + 4 + c = 0

5 + c = 0

c = –5

Jadi persamaannya:

y = x2 + 4x – 5

Penerapan Fungsi Kuadrat

→ biasanya digunakan untuk mencari kondisi/nilai maksimum/minimum

Contoh:

Jumlah bilangan pertama dan dua kali bilangan kedua adalah 3.

Tentukan bilangan-bilangan tersebut supaya selisih kuadrat kedua bilangan tersebut sekecil-kecilnya, dan tentukan nilai minimumnya.

Misal:

bilangan 1 = x; bilangan 2 = y

x + 2y = 3

x = 3 – 2y

f(y) = x2 – y2

= (3 – 2y)2 – y2

= 9 – 12y + 4y2 – y2 = 9 – 12y + 3y2

y agar hasilnya minimum:

Nilai minimum:

Atau, nilai minimum bisa dicari dengan men-substitusikan nilai x dan y ke dalam f(y):

f(y) = x2 – y2 = (–1)2 – 22 = 1 – 4 = –3

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

One Response to Fungsi Kuadrat

  1. Pingback: Sistem Persamaan (Linear dan Kuadrat) « Learn with Alice

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s