Persamaan Kuadrat (PK) – Bagian 2


Sifat akar-akar persamaan kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

x1 + x2 = –b/a

x1.x2 = c/a

|x1 – x2| = –D/a

(Ingat! D = b2 – 4.a.c)

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Jumlah kuadrat akar-akar:

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2.x1.x2

Jumlah pangkat tiga akar-akar:

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3.x1.x2.(x1 + x2)

Jumlah pangkat empat akar-akar:

x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2.x12.x22

Jumlah kebalikan akar-akar:

Jumlah kuadrat kebalikan akar-akar:

Selisih kuadrat akar-akar:

x12 – x22 = (x1 + x2).(x1 – x2) dimana x1 > x2

Hubungan Jenis Akar-akar PK dengan Nilai Diskriminan (D)

  • Jika D > 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan

→ D = bilangan kuadrat berarti akar-akarnya rasional

→ D bukan bilangan kuadrat berarti akar-akarnya irasional

  • Jika D = 0 maka PK m,empunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar
  • Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar real/nyata
  • Jika D < 0 maka PK tidak mempuyai akar real / akar-akarnya imajiner
  • Jika kedua akar positif (x1 > 0, x2 > 0)

D ≥ 0

x1 + x2 > 0

x1.x2 > 0

  • Jika kedua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0)

D ≥ 0

x1 + x2 < 0

x1.x2 > 0

  • Jika kedua akar berlainan tanda (1 positif, 1 negatif)

D > 0

x1.x2 < 0

  • Jika kedua akar bertanda sama (sama-sama positif/sama-sama negatif)

D ≥ 0

x1.x2 > 0

  • Jika kedua akar saling berlawanan (x1 = –x2)

D > 0

b = 0 (diperoleh dari x1 + x2 = 0)

x1.x2 < 0

  • Jika kedua akar saling berkebalikan (x1 = 1/x2)

D > 0

c = a

Contoh 1:

Tentukan nilai m agar x2 + 4x + (m – 4) = 0 mempunyai 2 akar real

D ≥ 0

b2 – 4ac ≥ 0

42 – 4.1.(m – 4) ≥ 0

16 – 4m + 16 ≥ 0

–4m ≥ –16 – 16

Semua dibagi –4

(Ingat! Jika dibagi atau dikali bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik)

m ≤ 4 + 4

m ≤ 8

 

 

 

 

 

 

Contoh 2:

Tentukan nilai n agar akar-akar PK x2 + (2n + 2)x + 5 – n = 0 bertanda sama

Syarat 1

D ≥ 0

b2 – 4ac ≥ 0

(2n + 2)2 – 4.1.(5 – n) ≥ 0

4n2 + 8n + 4 – 20 + 4n ≥ 0

4n2 + 12n – 16 ≥ 0

Semua dibagi 4:

n2 + 3n – 4 ³ 0

(n + 4).(n – 1) ³ 0

Pembuat nol: n = –4 atau n = 1

Syarat 2:

x1.x2 > 0

Gambar garis bilangan:

Jadi: HP = {n | n ≤ –4 atau 1 ≤ n < 5}

Menyusun PK

PK dengan akar-akar x1 dan x2 adalah:

x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

dengan kata lain:

x2 – (jumlah akar-akar)x + (hasil kali akar-akar) = 0

Contoh 1:

Tentukan PK yang mempunyai akar-akar 2 dan –5:

x2 – (2 + (–5))x + (2.(–5)) = 0

x2 + 3x – 10 = 0

 

Contoh 2:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar PK: x2 – 3x – 1 = 0, susun PK baru yang akar-akarnya 3x1 + 2 dan 3x2 + 2!

Karena PK tersebut tidak dapat difaktorkan,

x1 + x2 = –b/a = –(– 3) /1 = 3

x1.x2 = c/a = –1/1 = –1

Misal akar-akar PK baru adalah y1 dan y2:

y1 + y2 = 3.x1 + 2 + 3.x2 + 2

= 3(x1 + x2) + 4 = 9 + 4 = 13

y1.y2 = (3x1 + 2).(3x2 + 2)

= 9.x1.x2 + 6.x1 + 6.x2 + 4

= 9.(–1) + 6.3 + 4 = –9 + 18 + 4 = 13

Jadi PK barunya:

x2 – (y1 + y2)x + (y1.y2) = 0

x2 – 13x + 13 = 0

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s