Integral (III) – Menghitung Volume Benda Putar


Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:

1. Metode cakram

  • berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
  • Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = πr2 (r adalah jari-jari putaran)
  • digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode cincin silinder

  • berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran
  • karena keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A
  • digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh-contoh berikut ini:

Diputar pada sumbu x

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar terhadap sumbu x

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

 

Contoh 2:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x2 = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x = 0

2x2 – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap sumbu y:

Contoh 3:

Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 2x

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 4:

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)2 = 4 – y

y2 – 4y + 4 = 4 – y

y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0

y2 – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap garis x = p:

Contoh 5:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = 4

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 6x – x2

x2 + x2 – 6x = 0

2x2 – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 02 = 0

x = 3 → y = 32 = 9

Metode cakram:

**pada contoh 6 – contoh 8, karena digunakan kurva yang sama, hanya sumbu putar yang berbeda, penjabaran kurva di atas tidak ditulis lagi.

Metode cincin silinder:

Contoh 6:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis merah muda: x = –1

Metode Cakram:

Metode Cincin silinder:

Diputar terhadap garis y = a:

Contoh 7:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis y = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = –1

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 8:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis y = 10

kurva merah muda: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = 10

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

About these ads

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , , . Bookmark the permalink.

273 Responses to Integral (III) – Menghitung Volume Benda Putar

  1. hi alice
    saya berminat utk kursus,
    (jika lokasi dan harga terjangkau oleh saya dan jika alice bersedia)

  2. weiizzzz kejauhan,,,saya di jakarta timur
    terusin nulis mbak,,, bermanfaat utk banyak org

  3. umai says:

    boleh tanya alice?
    kalo volume kurva yg dibatasi y=-x^2+4x dan y=4-x diputar di sb. x=6 brapa?

    • alicealc says:

      *edited comment*
      volumenya lebih mudah dihitung dengan menggunakan metode cincin silinder
      Gambar grafik:
      ralat
      Cara:
      ralatcara

      • Christian Budiman says:

        sori mbak.. kayaknya salah baca soal deh.. kan y1=x^2 +4 dan y2=4-x persamaan kurva jadi x^2+3x-4. benar kah? CMIIW

      • alicealc says:

        maksudnya mencari titik potong kedua kurva?
        kalau soalnya y = x^2 + 4 dan y = 4 – x, titik potongnya dapat dicari dengan: x^2 + 4 = 4 – x sehingga didapatkan x^2 + x = 0
        semoga membantu..

    • alicealc says:

      maaf, untuk jawaban sebelumnya ternyata saya salah membaca soal menjadi y = x^2+4x..
      jawaban untuk soal di atas sudah saya edit ^^

  4. Kania Aulia Dwiputri says:

    mau nanya, daerah D dibatasi oleh y=√x, garis x=2y. hitung volume benda putar jika D diputar terhadap: a. sumbu x b. garis y=-1

  5. aji says:

    mau tanya kalo per y=x^2+c di putar terhadap sumbu y=x gimana rumusnya

  6. muslih says:

    halo kakak Alice, mau tanya tanya kak, kalo pertanyaan nya daerah dibatasi kurva y = x^2 + 4 , x = 1, dan x = 4, kemudian diputar terhadap sumbu x = 5, trus formulasi buat ngitung volume nya gimana ya kak??? ,, mohon pencerahan nya, sebelum dan sesudahnya saya ucapkan terima kasih.

    • alicealc says:

      halo juga,
      batasnya apa nggak kurang?
      kalau diasumsikan dibatasi sumbu x juga, maka gambarnya seperti ini:
      grafik
      lebih mudah jika menggunakan cara cincin silinder.
      Caranya seperti ini:
      cara
      semoga membantu dan selamat belajar :)

  7. eli says:

    mau tanya kalo menentukan volume di kuadran 1 yng berada dibawah garis y=2 diatas y=akar x diputar terhadap sumbu y gimana ya?

  8. gipson_trg says:

    ms alice, saya ada soal ni, mohon bantuannya ya.. ^ ^

    volume bnda putar jika di ketahui; x= (akar dari 2y) +1, y=2, x=0, y=0 mengelilingi sumbu x.

  9. hafidz says:

    mau tanya volume yang dibentuk bila bidang yang dibatasi y=x+1, y=x^2, dan x >= 0 diputar 360 derajat keliling sumbu x tu berapa..??

  10. weni says:

    mohon bantuannya .. :(
    y=x^3+x+1, y=1 dan x=1
    tentukan apakah menggunakan metode cakram atau kulit tabung,, ??

    • alicealc says:

      diputar terhadap garis apa?

      • weni says:

        sumbu x sama sumbu x-1 ??

      • weni says:

        mba, yang saya bingung itu, cara nentuin, pake metode cakram atau kulit tabungnya ..
        mohon bantuannya ya mba, besok saja uas matkul ini

      • alicealc says:

        Gambar:
        gambar
        Dari gambar di atas, kalau sumbu putar sejajar dengan sumbu x (garis y = k, di mana k = konstanta), lebih mudah menggunakan metode cakram dengan batas integral dari 0 sampai 1
        Kalau sumbu putar sejajar sumbu y (garis x = k, di mana k = konstanta), lebih mudah menggunakan metode cincin silinder dengan batas integral dari 0 sampai 1
        Semoga membantu..

  11. hafidz says:

    mau tanya lg alice_ : cincin yang dibuat dari putaran bidang yang dibatasi y = 1- (x^2/2) , y=1,1- (x^2/2), garis x = -1, dan garis x = 1, hitung volume yang dibutuhkan…diminta pake metode cincing, tp bingung nyelesainnya…mohon bantuan’a..soal mau UAS kalkulus ;(

    • alicealc says:

      Gambar:
      gambar
      Sumbu putarnya tidak diketahui?
      Kalau tidak diketahui, karena bentuk yang diminta cincin, asumsi sumbu putar y = 1/2
      Sebenarnya lebih mudah menyelesaikan soal ini dengan metode cakram. Tapi kalau diminta menggunakan metode cincin silinder, berikut ini caranya:
      cara
      semoga membantu, selamat belajar! ^^

  12. Nicky says:

    kalau diket y=x, y=4x, x=2 gimana gambarnya kakak

    • alicealc says:

      cara menggambar y = x:
      untuk x = 0 -> y = 0 -> diperoleh titik (0, 0)
      untuk x = 1 -> y = 1 -> diperoleh titik (1, 1)
      hubungkan kedua titik

      cara menggambar y = 4x:
      untuk x = 0 -> y = 0 -> diperoleh titik (0, 0)
      untuk x = 1 -> y = 4 -> diperoleh titik (1, 4)
      hubungkan kedua titik

      jadi diperoleh gambar berikut ini:
      gb
      *garis merah: x = 2
      garis merah muda: y = x
      garis hitam: y = 4x

      selamat belajar ^^

  13. Yanti says:

    Halo alice.. mau tany ni volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh y^2=1-x^2 dan y=1-x pd kuadran I dputar terhadap sumbu x.. trma ksih

  14. ria says:

    hay..
    Minta bantuannya alice.
    Y=x^2 dan y=1 dan x=2 diputar terhadap garis y= -3. Bagaimana volume benda putarnya.

  15. nash says:

    mbak mau nannya dan minta tolong :)
    soal nya dik kurva y^2=x dan y=x-2
    a). Gambarnya
    b). luasnya
    c). volume
    d).kel daerah

    • alicealc says:

      Gambar:
      gambar
      Cara:
      cara
      Untuk menghitung keliling digunakan rumus panjang busur, rumus perhitungan panjang busur dengan menggunakan integral yang lebih lengkap akan saya tulis dalam posting berikutnya.
      Selamat belajar ^^

  16. Lovie says:

    mbak,mau nanya kalau volume benda putar yang diperoleh jika daerah dibatasi oleh kurva y=x^2 y=1 dan x=2 diputar terhadap garis y= -4

  17. Hilda says:

    mba mau nanya kalo tentukan luas daerah datar diantara kurva y= x^3-x^2-6x dan sumbu x

  18. Basuki Yusak says:

    Hi Alice, apakah kamu cetak diktat untuk materi integral ini?kalau iya berapa harganya, Thanks yah

  19. Basuki Yusak says:

    ohh begitu, saya suka cara penyajian materi dan pembahasannya sangat praktis dan mengena, saya sarankan dibuatkan diktat atau bukunya, pasti banyak peminatnya, saya bukan Guru atau dosen ,tapi awam yang gemar Matematika, anyway thanks yah atas penulisanya yang sangat komprehensive.

  20. Wulan says:

    Ka,,saya mau tanya ,,gimana caranya slsyin soal ini,, volume yg terjdi jika daerah yg di batasi kurva = akar y, dan y=x di putar mengelilingi sumbu Y,,mohon bntuan ny y ka,,,:(

  21. Johan says:

    Mbak Elice saya ingin tanya untuk soal berikut :
    Y = 4x^2, X=0, Y=16, X-axis = jawabannya di buku 2048 pi /5 (tanpa cara)
    saya sudah mencoba mengerjakan tapi jawaban saya temukan 512 pi / 5
    tolong bantuannya kalau boleh bisa dikirimkan ke email saya johan.sugianto@ymail.com

    Terima kasih banyak ya Mbak bantuannya :)

  22. Stefen says:

    Kk mau tanya Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

  23. Anggun says:

    Malam Kak… Mau minta bantuannya ttg volume benda putar… apabila daerahnya dibatasi kurva y= x^2 dan y = akar 8x diputar 360 derajat mengelilingi sumbu X

  24. kak~
    aku nanya dunk…
    kalo misalnya y=x, y=3x-x^2 dan garis x, diputar pada sumbu x sejauh 360 derajat..jadinya gmn??? :)

  25. maulana says:

    Daerah R dibatasi oleh parabola y= X^2 sumbu x dan garis x=2 diputar terhadap sb y sebagai sb putar

  26. maulana says:

    mau tanya nih kak
    1) daerah R dibatasi oleh parabola y = x^2 sumbu x dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu y sebagai sumbu putar jadi luas dan volume R ?
    mohon secepatnya di jawab kak … sebelum dan sesudahya terima kasih kak
    2) hitung luas figure yang dibatasi oleh garis y = -x^2 + 6 dan garis lurus y = x
    terima kasih ya kak

  27. Bowo Saputra says:

    mau nanya
    volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y=3x+2, x=2, dan x=5, diputar 360 derajat mengelilingi sumbu x ?????

    • alicealc says:

      Saya asumsikan daerah yang terbentuk juga dibatasi sumbu x, sehingga gambarnya adalah sebagai berikut:
      gambar
      Volume benda putar yang terjadi lebih mudah dihitung dengan menggunakan metode cakram.
      Cara:
      cara

      Selamat belajar!

  28. awang says:

    kak mohon bantuanya dari soal ini?
    Cari volume yang terbentuk oleh putaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui, menggunakan metode cakram (jawaban dalam satuan kubik)
    y=4x^2 , x=0 , y = 16 ; sumbu y
    jawabanya = 32x
    mohon ya kak,,

  29. Ririn Indah Widiani says:

    Kak mau tanya dongs,,
    volume benda putar yang terjadi untuk daerah di kwadran II yang dibatasi oleh kurva y= x^2 dengan x+y=2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 derajat adalah…

  30. yeni says:

    hai kak alice mau nanyak nihh.
    Daerah yang dibatasi oleh y=sin x,x=0 dan x=vi(180 derajat) dan y=0 diputar mengelilingi sumbu x.Tentukan volume benda putar yang terjadi.
    Makasih kak.

  31. yeni says:

    makasi kak,,
    kalau yang ini gmana ya kak:
    “Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh satu sikloida x=a(1-sin t) ,y=a(1-cos t) dan sumbu x mengelilingi :A.sumbu x,B.sumbu y,C.sumbu simetri.
    Mohon bantuannya ya kak,,soalnya mau midterm kak..
    makasih kak

  32. Ning Glong says:

    Kak, aku minta bantuannya mengerjakan soal unas ya ::
    1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva x^2 + y^2 = 9 dan garis x+y-3=0 diputar 360derajat mengelilingi sumbu x adalah…… satuan volume

    2. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=4-x^2 , sumbu x , sumbu y dan garis x = 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x adalah….. satuan volume

    3. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x – x^2 dan y=2-x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360derajat adalah…. satuan volume

  33. yeni says:

    makasi kak,,
    kalau yang ini gmana ya kak:
    “Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh satu sikloida x=a(1-sin t) ,y=a(1-cos t) dan sumbu x mengelilingi :A.sumbu x,B.sumbu y,C.sumbu simetri.
    Mohon bantuannya ya kak,,soalnya mau midterm kak..
    makasih kak

    • alicealc says:

      sama-sama ^^
      Persamaan sikoida untuk x bukannya x=a(t-sin t)?

      cara
      Volume benda putar yang terjadi jika mengelilingi:
      A. sumbu x
      Gambar:
      gambar
      Cara:
      cara

      B. sumbu y
      Gambar:
      gambar
      Cara:
      cara

      C. sumbu simetri
      Gambar:
      gambar
      Cara:
      cara

      Semoga membantu :)

  34. yeni says:

    kak mau nanya tapi mengenai luas permukaakn bolebh ya kak,,please
    ,jawaban dari ini gmana yaa
    “hitunglah luas permukaan bola jari jari r yang terletak diantara dua bidang sejajar masing masing berjarak a/2 dari pusat.(kunci:2 vi ar)
    makasi ya kak

    • yeni says:

      kak mau nanya tapi mengenai luas permukaakn bolebh ya kak,,please
      ,jawaban dari ini gmana yaa
      “hitunglah luas permukaan bola jari jari r yang terletak diantara dua bidang sejajar masing masing berjarak a/2 dari pusat.(kunci:2 vi ar)
      makasi ya kak

  35. Evan says:

    kak alice yang baik, saya mau nanya, kalau daerah dalam volume benda putar, apakah selalu sama jika diputar terhadap sumbu x maupun sumbu y…?

    • alicealc says:

      Tidak sama.
      Contoh: untuk daerah pada gambar berikut ini:
      1

      jika diputar terhadap sumbu x, volume benda putar yang terjadi adalah seperti ini:
      2

      jika diputar terhadap sumbu y, volume benda putar yang terjadi adalah seperti ini:
      3

      semoga membantu ^^

  36. Dicky says:

    wah makasih ya kak membantu sekali :)

  37. dani says:

    tentukan volume daerah yang dibatasi oleh y=6-2x dan y=4-2x jika diputar mengelilingi sumbu y

  38. Ikhwan Mohammad Iqbal says:

    mau tanya mbak alice, bagaimana volume benda yang dibatasi oleh kurva y = x^2 dan x = y^2 diputar pada garis y = 2x – 2 ?
    Terima kasih banyak mbak .

    • alicealc says:

      Volume benda putarnya bisa dicari dengan cara seperti ini:
      -> karena sumbu putar y = 2x – 2, berarti gradien garis = 2, dan garis membentuk sudut sebesar teta, di mana tan teta = 2

      -> jika garis y = 2x – 2 ini ditranslasi ke atas sebesar 2 satuan dan diputar sebesar teta searah jarum jam dengan pusat (0, 0), garis ini akan menjadi sumbu x

      -> lakukan transformasi tersebut (translasi ke atas, dan rotasi sebesar teta searah jarum jam dengan pusat (0,0)) pada kedua kurva, untuk mendapatkan persamaan kurva yang baru.

      -> setelah itu volumenya dapat dicari seperti mencari volume benda putar terhadap sumbu x

      Semoga membantu

  39. Andy says:

    Mau bertanya mengenai soal-soal ini mbak.
    1. Bagaimana menentukan volume dari luasan yg dibatasi y^2= 25-x^2, -2=<x=<2 dan sb-x yg diputar thdp sb-x.
    2. Tentukan volume dr luasan yg dibatasi x=4-y^2, x=2-1/2^y dn sb-x yd diputar thdp sb-x dn sb-y.
    Mohon bantuannya mbak. Sebab bsk akan ditanya mengenai soal2 ini.

    • alicealc says:

      Nomor 1:
      Gambar:
      gb2
      Cara:
      cara

      Nomor 2:
      Gambar:
      gb2
      Cara:
      Cari titik potong antara kedua kurva. Untuk ini, saya menggunakan program Graphmatica untuk mencari titik potongnya. Dari program ini diperoleh titik potongnya (1,6541, 1,5316)
      cara2

      Selamat belajar!

  40. mujiati says:

    malem kak,,aku juga mau minta bantuannya dong.
    ni aku punya soal kayak gini
    hitung volume benda yang terjadi bila daerah lingkaran x^2+y^2=1 diputar pada sumbux dan sumbu y!

    • mujiati says:

      maaf kak,ada ralat….
      diputar pada garis x=5 dan garis y=4
      terima kasih

    • alicealc says:

      Untuk yang diputar pada sumbu x, saya anggap batasnya kurva dan sumbu x.
      Untuk yang diputar pada sumbu y, saya anggap batasnya kurva dan sumbu y.
      Keduanya memberikan hasil yang sama, yaitu volume bola dengan jari-jari 1 satuan

      Untuk volume jika diputar pada sumbu x:
      Gambar:
      1
      Cara:
      c1

      Untuk volume jika diputar pada sumbu y:
      Gambar:
      2
      Cara:
      c2

      semoga membantu

  41. mujiati says:

    maaf ya kak,, 2 lagi.
    1. hitung volume benda yang terjadi bila daerah antara: y= -x^2+3x dan x+y=3 diputar pada:
    a. garis x=3
    b. garis y=0
    2. tentukan volume benda yang terjadi bila daerah dalam kuadran pertama yang dibatasi parabola-parabola 3x^2-16y+48=0, x^2-16y+80=0 dan sumbu y, diputar pada garis y=2

  42. heri kusuma says:

    kak minta bantuanya dong, kalo mencari volume benda putar yg terjadi antara y=-x^2 + 3x dan x+y = 3 diputar pada
    a. garis x=3
    b. garis y=0

    ini gimana kak?

  43. Sofi Dwi Purwanto says:

    Salam. mohon penjelasannya untuk mencari nilai y pada metode cakram saya masih bingung mbak. klo bisa disertakan dengan contoh soal yg sederhana. Syukron

  44. Basuki Yusak says:

    hi Alice, thanks atas penjelasan atas solusi banyak soal diatas, hanya penasaran aja, dulu Alice sekolah di FMIPA ? atau jurusan lain, thanks sekali lagi

  45. Basuki Yusak says:

    waoo, salut saya, cara menjelaskannya gak kalah sama anak2 FMIPA, selamat berkarya terus yah !!

  46. mujiati says:

    terima kasih kak alice atas penjelasannya,,
    maaf kak,,ni ada 1 soal lagi
    tentukan volume satu oktan (seperdelapan) benda yang merupakan daerah persekutuan dua tabung lingkaran tegak dengan jari-jari masing-masing 1, dan yang sumbu-sumbunya berpotongan tegak lurus!
    makasih sebelumnya ya kak,,ini tugas untuk besok senin kak,, :)

  47. mujiati says:

    penampang yang mendatar berupa bujur sangkar kak,,
    penjelasannya seperti itu.
    ada gambarnya itu ada 2 buah 1/4 tabung (tabung utuh yang dibelah jadi 4 bagian) terus di temuin pojok2nya,,jadi gambar dua tabungnya itu saling menyiku.
    saya mohon kakak bisa bantu soalnya tugas buat besok,,yang lainnya sudah bisa,,yang belum tinggal 1 soal ini.

  48. renny hermawati says:

    ka alice, sya masih bingung cara menggambarnya sebuah kurva. kenapa bisa tergambar seperti kurva yang kaka buat.
    makasi ka :)

  49. dwi says:

    jika area yang dibatasi oleh kurva y=x-x^2 dan y=0, diputar mengelilingi sumbu x. Hitung berapa volume benda putar yang terbentuk ? mohon bantuanya kak.,..

  50. desu says:

    ini meggambar grafiknya pake software apa yah mbak.trim

  51. Basuki Yusak says:

    Hi Alice, mau tanya ttg Graphmatica, kalau mau tambahkan tanda X1, atau x2 atau tanda putaran ataupun sketsa kecil dy atau dx di grafik yg sudah dibuat, itu pakai cara manual atau bagaimana caranya, thanks yah Alice

  52. azizah says:

    Malem kak, cory nehh ane ganggu mlm2.

    Mau tanya, X^2 – Y^2 = 1, diputar pada sumbu Y, berapa volum benda putarnya? Di situ tdk dketahui tenang batasannya, lalu gmna pnyelesaiamnya

    Trima kasih:-)

  53. Terimakasih ka.. ^^ Sangat membantu.. :D

  54. Maaf ka ingin bertanya.. Saya punya soal sebagai berikut:
    Hitung volume benda putar yang terjadi ika daerah yang dibatasi oleh kurva y=√x garis x=4, sumbu x dan sumbu y diputar terhadap a.) sumbu x sejauh 360° b.) sumbu y sejauh 360°
    ..
    Mohon Bantuannya ka.. [(^_^)/

  55. tefs says:

    Mohon bantuannya ka :) Ini soalnya, tentukan volume benda putar jika daerah di kuadran I dibatasi oleh kurva y=e^2, garis x+y=1, dan sumbu x yang mengelilingi sumbu y. Bingung ini kalo eksponen gmn, makasih :D

  56. steven says:

    mau tanya.. volume benda putar dari Y = -x^2+2x+3 di kuadran I diputar 360 derajat terhadap garis Y = -2 bagaimana yah?

  57. nurika says:

    sebelumnya slam knal mb, ini NUrika. aku langsung mudeng sma penjelasannya. tapi aku mau tanya klo kurva diputar mengelilingi sumbu yg letaknya di tengah-tengah bidang caranya gmn ya? misalnya soal no 5 diatas klo diputar mengelilingi sumbu x=1 atau x=2 caranya gmn? mohon penjelasannya.

    • alicealc says:

      Biasanya sumbu putar tidak memotong daerah yang diarsir. Karena kalau sumbu putarnya di tengah-tengah kalau daerah yang diarsir diputar 360 derajat mengelilingi sumbu putar itu jadinya akan bertabrakan.
      Semoga penjelasan ini membantu :)

  58. Nurika Miftahuljannah says:

    mb, klo boleh aku minta no hp.y ya? kirim ke fb.q alamatnya nurika.kezeeen.westprog@gmail.com

  59. momoth says:

    kak,,aku mau tanya ni,,berapa luas daerah yang dibatasi x=-1+y^2 dan garis x=3 diputar mengelilingi garis y=-2..

  60. demay says:

    Ka alice mau tanya dong :) volume benda putar yg dipitar 360○ dengan kurva y=x^2-3x , pada inerval 0__2 dan sumbu x , mohon dibantu kak segera :)

  61. Diana Lucita says:

    kak alice..mohon bantuanya yaa…
    1) tentukan volume benda putar yang terjadi ,jika bidang yang di batasi oleh kurva y=x^2-4x+4,sumbu x dan sumbu y, diputar terhadap sumbu x sebesar 360 derajat
    2) tentukan volume benda putar yang terjadi ,jika bidang yang di batasi oleh kurva y=x^2, garis y=4,diputar terhadap sumbu x sebesar 360 derajat
    3) tentukan volume benda putar yang terjadi ,jika bidang yang di batasi oleh kurva y=x^2,garis y=2x dan sumbu y, sebesar 360 derajat (terhadap sumbu x dan y)
    4) tentukan volume benda putar yang terjadi ,jika bidang yang di batan garis xasi oleh kurva y=2 akar x,garis y=1/2 x,dan garis x=4 diputar terhadap sumbu x sebesar 360 derajat
    5) tentukan volume benda putar yang terjadi ,jika daerah antara kurva y=x^2+1 dan y=x+3, diputar mengelilingi sumbu x.

    mohon bantuanya kak alice..

  62. sonia says:

    Mbaa mau tanya kalau semisal ada gambar nah ada batasnya cuma 0 di sumbu x di situ ada gambar grafik dan setengah elips yg di arsir x^2/9 + y^2/4 = 1 mohob penjelasannya ya mbak

  63. sonia says:

    Mau tanya lagi volume putar jika di putar mengelilingi sumbu x
    A. Y^2 = x, dan y= 2
    B. Y = 2+x^2, dan y = 10x^2 mohon bantuan nya ya ;)

  64. lani says:

    halo kak alice mw nanya “daerah yg dibatasi oleh kurva y=x^2, y=2x+3, garis x=0, dan garis x=3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 derajat. Volume benda putarnya berapa ya kak? skalian sma gambarnya ya kak biar sya lbh paham. mohon bntuannya ya kak n sbelumnya trimakasih kak alice. :)

  65. lia nurul says:

    hay ka alice, mau nanya ; cara ngitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y-x=0;y-2x=0; x-1 = 0, jika diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu x gmna ya ?

  66. miguela says:

    hitunglah volume benda putar yang terjadi jika do batasi oleh kurva y=x^2+1 dan y=9-x^2 di putar mengelilingi sumbu x sejauh 360 derajat
    tolong di bantu,,untuk menyelesaikan soal ini ..

    • alicealc says:

      coba dibuat gambarnya dulu.
      y = x^2 + 1 gambarnya sama dengan y = x^2, tapi naik 1 satuan
      y = 9 – x^2 gambarnya sama dengan y = -x^2 tapi naik 9 satuan.
      Setelah itu cari titik potongnya: y = y -> x^2 + 1 = 9 – x^2
      Untuk soal ini, untuk mencari volume akan lebih mudah menggunakan metode cakram

  67. Kamal says:

    1. Bagaimana cara mencari batas, jika y=2x, y=x+1 , dan sumbu Y, hitunglah volume benda putar jika daerah berikut diputar disumbu X. Saya mencoba menggambar grafik hanya terdapat 2 garis lurus diagonal.

    2. Daerah yang diraster merupakan batas kurva parabola y^2 = 8x, sumbu X , Garis x = 0 , dan Garis X = 2 ? Hitung volume benda putar , jika diputar mengelilingi sumbu X dan jika mengelilingi sumbu Y .

    Mohon bantuannya , terima kasih
    (materi ttg volume benda putar dari daerah antara dua kurva)

    • alicealc says:

      Nomor 1:
      Gambar:
      gb
      Dari gambar terlihat bahwa batas untuk daerah yang diarsir adalah dari x = 0 hingga x = 1.
      Jika menggunakan perhitungan, cari perpotongan 2 garis:
      y = y
      2x = x + 1
      x = 1

      Nomor 2:
      Gambar:
      gb2
      Untuk mencari perpotongan:
      Substitusikan x = 2 ke dalam y2 = 8x, diperoleh y2 = 16, sehingga y = 4 atau –4. Karena yang diarsir bagian atas, maka perpotongan ada di y = 4
      cara

      Selamat belajar!

  68. isti says:

    permisi kak, mau tanya kalau kurva y= x^2 + 1
    hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah-daerah berikut ini diputar sejauh 360 terhadap sumbu x.
    a. y= 3x + 1, sumbu X, x=1 dan x=2
    b. y=1/x, sumbu X, x=1, dan x=3

  69. Ayu says:

    Mba bleh nanya ngg ? gmna cara nyari integral lipat dua ?
    1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
    a). y=4 dan y=x^2
    b). y=x^2 dan y=x^3

    2. letak titik berat yang dibatasi oleh kurva
    a). y=sin x, sumbu x dari x=0 sampai x=π ; ρ=ky
    b). y^2=x dan y=-x^2/8 dengan ρ konstan

    3. volume benda yang dibatasi oleh z=6 dan tabung x=y^2 dan y=x^2

    mohon bantuannya ya mba ..
    makasih

    • alicealc says:

      Integral lipat dua mungkin akan saya bahas pada posting berikutnya.
      Untuk nomor 1, buat gambarnya dulu, lalu tentukan titik potongnya dengan cara y = y (untuk soal a) 4 = x^2 dan untuk soal b) x^2 = x^3)
      Untuk nomor 2 dan 3 belum saya bahas di sini :)

  70. ummi atqa says:

    salam…. menggambar kurvanya pake software apa ya?

  71. salam :) om mau nanyak nih. kalo Volume daerah yang di batasi oleh kurva y=x^2+1 dan y=x+3 jika di putarmengelilingi sumbu X Sejauh 360°
    Cara nentuin Y1 sama Y2 nya gmana?

    • alicealc says:

      Digambar dulu grafiknya, dilihat bagian yang diarsir. Kurva yang lebih jauh jaraknya dari sumbu putar = y1, yang lebih dekat = y2, sehingga kalau mengunakan metode cakram,
      cara
      di mana a dan b adalah batas kiri dan kanan daerah yang diarsir.

      Semoga membantu ^^

  72. Maulana Husin says:

    Sore ka, menurut kaka apa pengertian dari Integral volume itu sendiri ?
    dan, aplikasi apa yang kaka pakai untuk membuat contoh gambar integral,seperti yang kaka tampilkan di website ini ?
    terima kasih atas balsannya ka,ditunggu ^_^

    • alicealc says:

      Hasil dari integral suatu fungsi dalam batas tertentu adalah luasan daerah di bawah kurva fungsi tersebut dengan batas tertentu itu. Jika luasan itu diputar dengan sumbu putar tertentu, akan terbentuk benda ruang, sehingga integral juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda putar.
      Saya menggambar grafiknya menggunakan software Graphmatica, untuk menambah arsiran, dll, saya menggunakan Microsoft Word.

      Semoga membantu :)

  73. Nurmala says:

    Mf kak sebelumx.Aku sdh coba gmbar grafikx,tp aku msh bingung nentuin bats2x. Maklm in tugs pertma trus blm pernah di ks’ cntoh!
    Mohon bntuanx kak…
    Terimah kasih

    • alicealc says:

      kalau sudah digambar, akan terlihat kalau batas-batas kiri dan kanan daerah yang diarsir adalah perpotongan antara kurva dan garis.
      Cara mencari perpotongannya dengan substitusi. Dari garis x – y + 3 = 0 diperoleh persamaan y = x + 3, ini kemudian disubstitusikan ke dalam y = 9 – x^2, sehingga menjadi x + 3 = 9 – x^2, dijadikan ke dalam satu ruas: x^2 + x – 6 = 0, kemudian difaktorkan, ketemu koordinat x dari titik potongnya.

  74. Nurmala says:

    Terimah kasih kak… Udah sangat membantu! O iya kak., boleh tanya lg ngk’? Ini tentang volume benda putar yg terjadi jika daerah yg di btsi oleh kurva y=x^2 + 3 dan y= 6-x^2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 drjt. Titik potong yg aku dpt = akar 3/2. Ap i2 benar kak?

  75. hothman says:

    kak Alice yth, mohon saya dibantu utk menyelrsaikan soal MTK. pertanyaannya >> Hitung luas daerah yang dibatasi 1/2 gelombang kurva sin y = sin x dan sumbu x

    • alicealc says:

      untuk persamaan sin y = sin x
      y = x + k*2pi atau y = (pi – x) + k*2pi
      di mana k adalah bilangan bulat.
      Karena yang diminta hanya 1/2 gelombang, gunakan k = 0
      dan untuk mencari luasnya, gunakan metode cakram dengan integral dengan batas 0 hingga pi/2 untuk persamaan y = x,
      ditambah dengan integral dengan batas pi/2 hingga pi untuk persamaan y = pi – x

      Selamat belajar.

  76. WWW says:

    i want to question, jika volume berputar pada batas y = X^2, y=4 dan y=4X^2 mengelilingi sumbu x ?
    tolongyah

  77. pendik says:

    Kak alice mau nanya, y= sin x, sumbu y, garis x=0, dan x= phi/2 gimana?

  78. nisa fitriyani says:

    kak bagaimana cara menyelesaikan soal spt ini sekaligus gambarnya:
    soal 1). Luas daerah yg berada diantara kurva y = tg x, sumbu x dan garis x =phi/3

    soal 2). Luas daerah yg dibatasi hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 dan garis lurus x=2a.

    mohon bantuannya ya kak, terimakasih ( nisa fitriyani)

  79. tono says:

    mas mau nany??
    1) misalkan v1 & v2 masing-masing benda putar, jika daerah di arsir 360 derajat, mengelilingi sumbu x, hitunglah v1,v2 dan v1 berbanding v2
    2)daerah yang di batasi kurva y=x dan y=2x, garis y=1 dan y=3 diputar mengelilingi sumbu x,hitunglah volume benda putar yang terjadi.
    jawabnya gimana
    terima kasih

  80. rizky says:

    ka,mu naya ne
    daerah D dibatasi parabola y=4x-x^2 dan y=8x-2x^2
    a. lukislah daerah D
    b.hitunglah luas daerah D

  81. rizky says:

    ka,tlong donk bantuin saya…soalnya materi ini saya blum trlalu mudeng,jwab satu soal ini aja koq ka…please,

  82. maghfiratun rina says:

    ka mau nanya dong,,
    jika di suruh nyari luas daerah dik :
    a. elips x = a cos t, y = b sin t
    b. x = a cos^3 t , y = a sin^3 t
    makasih,,,

    • alicealc says:

      Soal a dan b dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan parametrik.

      Untuk soal a, jika digambar akan menghasilkan elips dengan sisi horisontalnya bertepi di x = -a dan x = a (diperoleh dari y = 0 -> sin t = 0 -> cos t = 1 atau -1), dan sisi vertikalnya bertepi di y = b dan y = -b (diperoleh dari x = 0 -> cos t = 0 -> sin t = 1 atau -1)
      Untuk mencari luas tetap digunakan integral y dx.
      karena x = a cos t maka dx/dt = -a sin t -> dx = -a sin t dt
      sehingga luas = integral (b sin t)(-a sin t)dt dengan batas x = -a (t = pi) hingga x = a (t = 0)

      Untuk soal b, jika digambar akan menghasilkan gambar berikut:
      gb
      Sama halnya dengan soal a, untuk mencari luas menggunakan integral y dx dengan batas x = -a (t = pi) hingga x = a (t = 0) dan dx diperoleh dari dx/dt.

      Selamat belajar!

  83. iif says:

    hallo kakak, mau tanya dong, berikan contoh soal yg hanya bisa dikerjakan dengan metode sel silinder, dan tidak bisa dikerjakan di metode cakram. terimakasih

    • alicealc says:

      halo,
      setahu saya tiap soal bisa dikerjakan menggunakan kedua metode tersebut, hanya saja terkadang metode sel silinder lebih mudah daripada metode cakram, atau sebaliknya.

  84. lulu says:

    alice kalau metode sel silider sama cincin silinder sama apa beda? saya lagi bingung disuruh nyari soal volume benda putar yang bisa dikerjakan dengan metode sel silinder saja dan soal yg bisa dikerjakan dgn metode (cakram dan sel silinder)

    • alicealc says:

      Metode sel silinder sama dengan metode cincin silinder dalam posting saya di sini. Dalam bahasa Inggris metode ini biasanya disebut method of cylinders atau method of shells. Sedangkan metode cakram dalam bahasa Inggris biasanya disebut method of disks atau method of rings. (Referensi: http://tutorial.math.lamar.edu)

      Hmm, setahu saya semua soal bisa dikerjakan dengan kedua metode tersebut, hanya saja terkadang dalam suatu soal, pengerjaan dengan salah satu metode lebih mudah daripada dengan metode lainnya.

  85. dep says:

    Kak mau tanya donk… Klo volume benda putar dengan daerah yg dibatasi y =x^2 – 3 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu x

    • alicealc says:

      Sumbu putarnya apa tidak salah?
      Kalau daerah yang dibatasi grafik kedua persamaan itu diputar terhadap sumbu x jadinya akan bertabrakan.

      • dep says:

        Ooo gtu kak…klo diputar thd sumbu y..gmn kak?

      • alicealc says:

        Kalau diputar terhadap sumbu y, ambil setengah bagian dari daerah yang dibatasi kedua persamaan itu (jadi batas integralnya dari x = 0 hingga perpotongan kedua kurva di sebelah kanan) lalu gunakan metode cincin silinder agar perhitungannya lebih mudah.

  86. jennifer says:

    volume yang dibatasi kurva y=x^2 dan y=2-x^2 diputar terhadap sb y. gmn yaa?

    • alicealc says:

      Sudah dicoba menggambar kurvanya?
      Kalau sudah, gunakan separuh bagian saja (batas integralnya dari x = 0 hingga perpotongan kedua kurva di sebelah kanan), kemudian untuk perhitungannya gunakan metode cincin silinder agar lebih mudah.

  87. david says:

    mbak tanya dong tentang menghitung volume benda putar yang oleh suatu fungsi sumbu x dan dengan batas-batas tertentu .jika diputar terhadap sumbu y dan hitung juga jika diputar terhadap sumbu x .gimana sih contoh soalnya
    makasih

    • alicealc says:

      Contoh:
      Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap
      a. Sumbu x
      b. Sumbu y
      Jawab:
      Gambar:
      gb

      Untuk soal a lebih mudah menggunakan metode cakram:
      cara1
      sedangkan untuk soal b lebih mudah menggunakan metode cincin silinder:
      cara2

      Selamat belajar!

  88. Arief says:

    Mba alice boleh tanya? Mencari volume dari y=4-x^2 dan y=1-x^2…

  89. achil says:

    kak alice mau nanya, volume apabila diputar mengelilingi sumbu Y, y=x^2 dan garis y=4 ?
    volume benda putar yg dibatasi kurva y^2=2-x dan y^2=2 dengan sumbu Y sbg bidang putar ?

  90. fachry says:

    selamat siang mbak..
    Mau tanya nih bagaimana cara menyelesaikan soal sbb:
    Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya x=ykuadrat, x=0, y=2. Prlihatkanlah jalur persegi panjang yang mendatar.tentukan volume benda yang terbentuk apabila R diputar mengelilingi sumbu y.
    mohon bantuannya terimakasih.

  91. mbak aku mau nanya gambar-gambar grafiknya mbak pake software apah? terima kasih

  92. Rifky says:

    mohon bantuannya :)

    1. volume benda putar yang terbentuk apabila suatu daerah dibatasi oleh kurva y=x^2, sumbu X, sumbu Y 0<=x<=2 dan diputar mengelilingi sumbu X adalah…

    2. volume benda putar yang terjadi bila daerah dibatasi kurva x=2y^-2 pada interval 2<=2y<=4 diputar mengelilingi sumbu Y adalah…

  93. 10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = , garis y = dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap sumbu x adalah ….satuan volume.
    11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.
    12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2×2 + 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
    13. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah ….
    14. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah ….
    15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.

    minta tolong jawabannya mba.

  94. Slamat sore kak saya mau tanya , volume benda yang dibentuk dari y=x^2 , y=1 , x=2 , mengelilinggi y=-3 , menggunakan metode cakram , cincin , sama kulit tabung, mohon bantuannya ya kak, makasih

  95. rocky says:

    Kak tolong bantu soal ini kak
    Suatu bentuk bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 4 ax, sumbu x dan ordinat pada x = a, diputarkan penuh mengelilingi garis x = – a.
    Hitung volume benda putaran yang terjadi.

  96. mau nanya nich, tuk gambar grafik tersebut memakai aplikasi apa ya?
    terima kasih

  97. sahroni says:

    mohon bantuannya mba..???

  98. vivie wn says:

    mba saya mau tanya nih,
    diketahui daerah yang dibatasi oleh y = 3x, y = x^2, 0<= 0 < 2.
    tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah terseut diputar 360 derajat terhadap
    a. garis x = 2
    b. garis y = -1

    mohon bantuannya ya., terimakasih :D

  99. vivie wn says:

    sudah mbk, tp saya juga engk yakin dengan yang sya gmbar :) dan bingung mau ngitung yang di ambil angkanya mana aja :D

    • alicealc says:

      Untuk sumbu putar x = 2, lebih mudah jika menggunakan metode cincin silinder, dengan batas 0 sampai 2.
      Untuk sumbu putar y = -1, lebih mudah menggunakan metode cakram, dengan batas 0 sampai 2.
      Semoga membantu :)

  100. rahmat says:

    huwaaaa keren postingannya kak. maaf kak mau tanya cara, saya masih bingung bagaimana cara menentukan kurva 1. jika dibatasi garis kurva mana yang mnjadi y1 atau x1 misal dibatasi 2 kurva mana yang menjadi kurva 1? saya masih bingung. mohon pencerahannya kakak. terima kasih

    • alicealc says:

      Untuk mencari volume benda putar dari suatu daerah yang diarsir jika diputar terhadap suatu garis, jika daerah itu dibatasi 2 kurva atau kurva dan garis, dilihat mana yang letaknya lebih jauh dari sumbu putar, itu yang menjadi kurva 1. Yang lebih dekat ke sumbu putar, itu yang menjadi kurva 2.
      Volume benda putar yang terjadi dapat dihitung dari volume yang dibentuk oleh kurva 1 dikurangi volume yang dibentuk oleh kurva 2.
      Semoga membantu :)

  101. Qomarr says:

    k alice..
    boleh minta penjelasan soal yg ni, kmren dh ditrangin m gru’y, phi masih kurang mudeng.. ^_^
    Tentukan volume benda putar bila daerah yg dibatasi oleh y=x2 dan y2=8x diputar mengelilingi a=sb -x, b=sb -y

    terimakasih ka sebelumnya..

    • alicealc says:

      Sudah coba dibuat gambarnya?
      Kalau sudah, cari titik potong antara kedua kurva (substitusi y = x^2 ke dalam y^2 = 8x). Dari perhitungan, nanti didapatkan titik potongnya di (0, 0) dan (2, 4).
      Jika diputar terhadap sumbu x, volumenya dapat dihitung dengan metode cakram, yang jauh dari sumbu putar dikurangi dengan yang dekat dari sumbu putar:
      V = pi * integral (8x – (x^2)^2) dx dengan batas 0 sampai 2
      Jika diputar terhadap sumbu y, caranya sama, dengan menggunakan metode cakram, hanya karena batasnya di sumbu y, maka menggunakan dy, dan semua persamaan kurva dijadikan dalam y:
      V = pi * integral (y – (y^2 / 8)^2) dy dengan batas 0 hingga 4.

  102. tika says:

    Kak alice mohon bantuannya untuk penyelesaian soal berikut:
    dapatkan volume benda putar dari perpotongan kurva-kurva: y=x dan y=x^2 (kuadran I), jika benda perpotongan tersebut pada sumbu: x=2.

    oia kak, untuk mencari volume benda putar ini ada metode lain yg saya sempat baca yaitu metode luasan, metodenya sama atau tidak dg metode cakram dan cincin silinder?

    • alicealc says:

      Metode luasan sama dengan metode cincin silinder.
      Untuk menyelesaikan soal di atas, lebih mudah menggunakan metode itu.
      Coba dibuat gambarnya dulu, tentukan batas-batas luasannya, baru dibuat rumusan integralnya menggunakan metode cincin silinder :)

  103. ria says:

    kak mau nanya kalo volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^ dan y=x+2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360″ gimana jalannya kak?:)

  104. mery says:

    kk mau nanya,kalau benda putar yang terjadi jika daerah yang di arsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu xsejauh 360′,,di gambarnya itu yg di ketahui nilai y=1/2 x

  105. Fazaulfa says:

    Oke Kakak
    Makasi ya :)

  106. nadhilah says:

    Kak alice mau nnyk ni. Kalo soalnya seperti ini gimana?
    Luas daerah y=cos x interval 0-phi.
    Makasih kalo mau membantu ;)

  107. tiara says:

    ka mau nanya kalau soalnya daerah D dibatasi oleh kurva y= 9-x pangkat 2, sumbu x dan sumbu y. tentukan volume daerah tersebut jika diputar 360 derajat terhadap :
    a. sumbu x
    b. sumbu y
    mohon bantuannya ka :)

  108. adam says:

    kak alice mau tanya
    tentukan volume apabila daerah yang dibatasi kurva y = sin x dan y = cos x dari x = 0 sampai x=π diputar terhadap sumbu x

  109. Muhammad Ridwan S says:

    terimakasih atas postingan anda saya sangat terbantu mengerjakan soal soal

  110. petrus says:

    halo kak alice, terima kasih banyak atas penjelasan yang cukup menarik, tapi ijinkanlah saya bertanya beberapa hal, jika saya punya persamaan seperti berikut
    y=0.1-(0.0000225/x^2) dibatasi oleh x=0.015 dan x=0.25, diputar terhadap sumbu y, metode manakah menurut kakak yang paling efektif untuk mencari nilai volumenya? maukah kakak menjelaskan proses dari persamaan di atas untuk mencari volumenya?

    saya juga sudah mencoba menggambar di graphmatica, tapi tak sebaik yang kakak hasilkan, bolehkah kakak jelaskan bagaimana langkah membuat arsiran, agar arsirannya tepat di antara kurva y=0.1-(0.0000225)/x^2; x=>0.015; x=<0.25 dan dibatasi sumbu y=0? mohon bantuannya kak, terima kasih banyak sebelumnya

    • alicealc says:

      Untuk arsirannya, saya meng-copy gambarnya dari Graphmaica, lalu membuat arsirannya di MS Word.

      Untuk soal ini, lebih mudah jika menggunakan metode cincin silinder, karena sumbu putarnya sumbu-y, dan batasnya diberikan dengan jelas, dari x = 0.015 hingga x = 0.25.
      untuk metode cincin silinder ini, jari-jari putarannya seperti dapat dilihat di gambar, adalah x, sedangkan luas yang hendak diputar adalah daerah di bawah kurva dari x = 0.015 hingga x = 0.25. Sehingga perumusan integralnya untuk mencari volumenya adalah:
      gb

      Semoga membantu, selamat belajar :)

      • petrus says:

        Jadi, nilai jari2 putar(x) nya didapat darimana dan dimasukkan ke variabel yang mana dari pers integral tsb? Terima kasih banyak sudah dijawab mbak

      • alicealc says:

        Jari-jari putarannya didapat dari jarak segmen batang ke sumbu putar. Di gambar dapat dilihat kalau jari-jari putarannya adalah x (jarak dari batang y dx ke sumbu y). Kalau misalnya sumbu putarnya adalah garis x = 1, maka jari-jari putarannya adalah 1 – x. Kalau misalnya sumbu putarnya adalah garis x = -1, maka jari-jari putarannya adalah 1 + x.

        Jika menggunakan metode cincin silinder, konsepnya adalah memutar suatu luasan terhadap sumbu putar sehingga didapat suatu benda pejal.
        Karena rumus keliling lingkaran adalah 2.pi.r (r = jari-jari putaran), sumbu putar sumbu y, dan luas yang diputar adalah y dx, dengan x mulai dari x1 hingga x2, maka rumusan volume dengan menggunakan metode cincin silinder adalah:
        V = 2.pi.integral(r. y .dx) dengan batas bawah x1 dan batas atas x2.
        Untuk soal di atas jari-jarinya adalah x, dan y = 0,1 – 0,0000225/x^2, dengan batas 0,015 hingga 0,25 sehingga metode cincin silinder untuk soal di atas adalah:
        V = 2.pi.integral(x.(0,1-0,0000225/x^2)dx) dengan batas 0,015 hingga 0,25.

        Semoga membantu :)

      • petrus says:

        berarti nilai jari2 putaran (r) dalam kasus ini x, bisa langsung dikalikan ke dalam fungsi y=0.1-(0.0000225)/x^2, lalu diintegralkan kak? baru dimasukkan nilai2 batasnya?

      • alicealc says:

        ya, jangan lupa, hasilnya dikalikan dengan 2 pi

  111. Shara sitoMpuL says:

    Kak
    apa nama fb kakak ?
    Aku mau tnya neh tntang volume benda puTar.

  112. dian says:

    ka bisa bantu
    tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar 360 derajat mengelilingi sumbu x dan volume jika diputar 360 derajat mengelilingi sumbu y.
    x2 + y2 = 64, sumbu x, dan sumbu y

  113. kk tolong aku lah…. CARANYA DAN GAMBAR NYA YA KK
    ni soal aku
    A. hitunglah volume benda putar jika y=x^2, y=akar x yang di putar 360 derajat dan sumbu putar di sumbu y
    B. hitunglah benda putar jika y=x^2 dan y^2=8x yang diputar 360 derajat dan sumbu putarnya pada sumbu x

  114. Fazaulfa says:

    Halo kk Alice
    Mau nanya kk
    Kalo cara nentui luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva Y=2x sumbu x, garis – garis x=1 dan x=4

  115. alicealc says:

    coba digambar dulu, biar jelas daerah yang diarsir, tentukan batas-batas integralnya, lalu hitung luasnya dengan integral :)

  116. nadhilah says:

    U,u cra bikin gmbrnya itu yg bingung :3

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s