Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri


Persamaan Dasar

sin x = sin a                  

x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)

cos x = cos a

x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)

tan x = tan a

x = a + k.180

*k = bilangan bulat

Catatan:

Jika ada persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, dan sebaliknya, salah satu diubah menjadi (90 – a)°,

contoh: cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°

Contoh:

  • Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

2 cos x = √3

cos x = ½ √3

cos x = cos 30°

x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°

k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°

Jadi HP = {30°, 150°}

  • Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°

tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°

60° – ½ x = –x – 30° + k.180°

x – ½ x = –30° – 60° + k.180°

½ x = –90° + k.180°

x = –180° + k.360°

k = 1 → x = 180°

Jadi HP = {180°}

 

Persamaan bentuk a cos nx + b sin nx

a cos nx + b sin nx diubah menjadi k cos(nx – α)

dimana

Selanjutnya diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a

Penentuan letak α:

  • Jika a +, b + → α di kuadran I
  • Jika a –, b + → α di kuadran II
  • Jika a –, b – → α di kuadran III
  • Jika a +, b – → α di kuadran IV

Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c, syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:

Dan agar persamaan ini tidak dapat diselesaikan:

Persamaan bentuk a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d

Caranya, lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:

Selanjutnya persamaan diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

 

Persamaan bentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0

Caranya:

Misalkan (cos x ± sin x) = p

maka

(cos x ± sin x)2 = p2

cos2x ± 2 sin x.cos x + sin2x = p2

1 ± 2 sin x.cos x = p2

± 2 sin x.cos x = p2 – 1

Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p2 – 1)

Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:

a.p ± ½ b(p2 – 1) + c = 0

Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p, kemudian persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

 

Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c

Pertidaksamaan Trigonometri

→ mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri

→ diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan

Contoh:

Selesaikan sin 2x < cos x  untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Cara:

sin 2x – cos x < 0

2 sin x.cos x – cos x < 0

cos x.(2 sin x – 1) < 0

harga nol:

  • cos x = 0

cos x = cos 90°

x = 90° + k.360°      atau      x = –90° + k.360°

k = 0 → x = 90°                        k = 1 → x = 270°

  • 2 sin x – 1 = 0

2 sin x = 1

sin x = ½

sin x = sin 30°

x = 30° + k.360°        atau      x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                         x = 150° + k.360°

                                                           k = 0 → x = 150°

Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:

Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)

Jadi garis bilangannya:

karena yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian yang bertanda (-)

Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}

About these ads

About alicealc

a private teacher, teaches Math, Physics, and Chemistry for Junior High and High School students :)
This entry was posted in Matematika (Indonesia) and tagged , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s